[论文解读] Characteristic classes associated to Q-bundles

Alexei Kotov, Thomas Strobl|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 19

一句话总结

本文通过将基空间的上同调类与纤维上的规范场（截面）及形式子复形的上同调类相关联，为Q-流形范畴中的Q-丛（纤维丛）引入了一种广义的特征类构造。该框架扩展了Chern-Weil理论，恢复了来自拓扑sigma模型和哈密顿泊松纤维丛的已知类，并通过Q-几何结构统一了Lecomte关于李代数扩张的特征类。

ABSTRACT

A Q-manifold is a graded manifold endowed with a vector field of degree one squaring to zero. We consider the notion of a Q-bundle, that is, a fiber bundle in the category of Q-manifolds. To each homotopy class of ``gauge fields'' (sections in the category of graded manifolds) and each cohomology class of a certain subcomplex of forms on the fiber we associate a cohomology class on the base. Any principal bundle yielding canonically a Q-bundle, this construction generalizes Chern-Weil classes. Novel examples include cohomology classes that are locally the de Rham differential of the integrands of topological sigma models obtained by the AKSZ-formalism in arbitrary dimensions. For Hamiltonian Poisson fibrations one obtains a characteristic 3-class in this manner. We also relate to equivariant cohomology and Lecomte's characteristic classes of exact sequences of Lie algebras.

研究动机与目标

• 通过在分次流形范畴中Q-丛的背景下表述特征类理论，将特征类理论从主丛推广至更广范畴。
• 通过从截面（规范场）和微分形式子复形的纤维上同调类构造基空间上同调类，广义化Chern-Weil理论。
• 在统一的Q-几何框架下，将来自拓扑场论的已知特征类（如AKSZ形式体系和哈密顿泊松纤维丛）统一起来。
• 通过将扩张的Q-丛实现，将该构造与Lecomte关于精确李代数序列的特征类联系起来。

提出的方法

• 将Q-丛定义为Q-流形范畴中的纤维丛，其全空间与基空间均配备满足 $[Q,Q] = 0$ 的次数为一的同调向量场。
• 构造从商复形 $\Omega({\cal M})/{\cal I}$ 到基空间函数的链映射，其中 $ {\cal I} $ 是由基空间正次数形式的拉回生成的理想。
• 利用规范场 $ \varphi: {\cal N} \to {\cal M} $ 通过拉回 $ f^* $ 诱导上同调映射，该映射尊重全微分 $ Q_{\scriptscriptstyle T{\cal M}} $。
• 对于局部平凡的Q-丛，构造从 $ \Omega({\cal F})_{\cal G} $ 到 $ \Omega({\cal M})/{\cal I} $ 的链映射，其中 $ {\cal F} $ 为典型纤维，$ {\cal G} $ 为规范群，从而实现特征映射。
• 将该构造应用于具体情形：主丛（产生Atiyah代数丛）、传递李代数丛，以及精确李代数序列。
• 证明所得映射通过将李代数序列扩展为表示并使用半直积，可恢复Lecomte的特征类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将特征类理论从主丛推广至Q-流形范畴中的纤维丛？
• RQ2 规范场（截面）与纤维上同调类在Q-丛理论中生成基空间上同调类时起何作用？
• RQ3 该构造如何通过AKSZ形式体系恢复拓扑sigma模型中的已知类？
• RQ4 Q-丛框架如何统一Lecomte关于李代数扩张的特征类？
• RQ5 该构造能否推广至非局部平凡Q-丛或更一般的几何结构？

主要发现

• 该构造生成了从纤维上同调类与规范场到基空间上同调类的明确定义的特征映射，广义化了Chern-Weil理论。
• 对于哈密顿泊松纤维丛，该方法产生一个特征3-类，扩展了辛几何中的已知不变量。
• 在主G-丛情形下，Q-丛构造恢复了Atiyah代数丛，并通过不变形式的de Rham复形再现了标准Chern-Weil类。
• 通过将扩张实现为Q-丛并使用与表示的半直积扩张，该方法重现了Lecomte关于精确李代数序列的特征类。
• 通过Q-结构实现的链映射 $ S^{\bullet}({\mathfrak{h}}^{*})^{G} \to H^{\bullet}(\tilde{\mathfrak{g}}_{0}) $，在Q-几何中实现了Lecomte类的几何实现。
• 该框架使得拓扑场论中的特征类（包括来自AKSZ形式体系的类）得以统一处理，通过将它们与纤维形式子复形的上同调类相关联。