[论文解读] Characterization of multipartite entanglement in terms of local transformations

Youming Qiao, Xiaoming Sun+1 more|UTS ePRESS (University of Technology Sydney)|Jan 12, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文通过提出一种算法以构造任意固定次数下的所有局部幺正不变多项式（LUIPs），并证明了在局部幺正群和局部一般线性群作用下，不变环生成元的次数存在多项式上界，从而对多体纠缠进行了完整表征。关键贡献在于证明了多体纠缠的可加性：两个态是LU等价的，当且仅当它们的r重拷贝在某个r下也是LU等价的。

ABSTRACT

The degree of the generators of invariant polynomial rings of is a long standing open problem since the very initial study of the invariant theory in the 19th century. Motivated by its significant role in characterizing multipartite entanglement, we study the invariant polynomial rings of local unitary group---the tensor product of unitary group, and local general linear group---the tensor product of general linear group. For these two groups, we prove polynomial upper bounds on the degree of the generators of invariant polynomial rings. On the other hand, systematic methods are provided to to construct all homogenous polynomials that are invariant under these two groups for any fixed degree. Thus, our results can be regarded as a complete characterization of the invariant polynomial rings. As an interesting application, we show that multipartite entanglement is additive in the sense that two multipartite states are local unitary equivalent if and only if $r$-copies of them are LU equivalent for some $r$.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的难题：确定在局部幺正群和一般线性群作用下，不变多项式环生成元的次数上界。
• 提供一种系统化方法，以构造任意固定次数下的所有齐次LUIPs。
• 建立多体量子系统中LUIPs环的完整表征。
• 证明LU等价性具有可加性：两个态是LU等价的，当且仅当存在某个r，使得它们的r重拷贝是LU等价的。
• 通过单一项SLOCC等价关系将框架扩展至混合态，并提供一种计算SL不变多项式的新算法。

提出的方法

• 将LUIPs环构造为在每个子系统上作用的局部幺正群所保持不变的多项式子环的交集。
• 对每个参与者，利用有限维子空间交集技术，计算其局部幺正群作用下不变的齐次多项式环。
• 采用现代不变理论技术，特别是矩阵半不变量，推导出生成元次数的多项式上界。
• 通过多元多项式恒等式中的系数比较，计算低次LUIPs（例如次数2和4）的显式例子。
• 利用张量积群（局部幺正和局部一般线性）的结构，将结果推广至纯态之外的情形。
• 应用该框架，推导出一种计算纯态SL不变多项式（SLIPs）的替代算法，与Gour和Wallach在2013年的研究形成互补。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于n体量子系统，局部幺正不变多项式（LUIPs）环的生成元的最小次数界是多少？
• RQ2 能否构建一种系统化算法，以生成任意多体系统中固定次数的所有LUIPs？
• RQ3 多体量子态的LU等价性是否等价于其r重张量拷贝的LU等价性（对某个r）？
• RQ4 如何表征在局部一般线性群作用下的不变多项式环？其次数界是多少？
• RQ5 该框架能否通过单一项SLOCC等价关系扩展至混合态，并实现SLIP的计算？

主要发现

• 首次建立了在局部幺正群和局部一般线性群作用下，不变环生成元次数的多项式上界。
• 提供了一种算法，通过交集有限维不变多项式子空间，系统化地构造任意固定次数的所有齐次LUIPs。
• 对于两比特纯态，LUIPs环完全由次数2和次数4的不变量生成，例如密度矩阵的迹及其平方。
• 次数2的LUIP是态矢量的范数平方：$ \langle\psi|\psi\rangle = \sum_{ij}|x_{ij}|^2 $，而次数4的LUIPs包括 $ \mathrm{tr}^2(\rho_A) $ 和 $ \mathrm{tr}^2(\rho_B) $。
• 本文证明了多体纠缠具有可加性：两个态是LU等价的，当且仅当存在某个r，使得它们的r重拷贝是LU等价的。
• 该框架使一种计算纯态SL不变多项式（SLIPs）的替代算法成为可能，其与Gour和Wallach在2013年的方法不同。