[论文解读] Characterizations of exchangeable partitions and random discrete distributions by deletion properties

Alexander Gnedin, Chris Haulk+1 more|ArXiv.org|Sep 20, 2009

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文证明了一个长期存在的猜想，即通过一种删除性质，唯一刻画了两参数的 Ewens-Pitman 可交换划分结构及其相关的 Poisson-Dirichlet 分布：当随机删除一个个体及其所有同类型个体后，剩余的划分分布与原始划分结构在减小后的规模下相同，且与原始规模无关。关键结果表明，在温和正则性条件下，该性质唯一确定了两参数族，包括极限情形。

ABSTRACT

We prove a long-standing conjecture which characterises the Ewens-Pitman two-parameter family of exchangeable random partitions, plus a short list of limit and exceptional cases, by the following property: for each $n = 2,3, >...$, if one of $n$ individuals is chosen uniformly at random, independently of the random partition $π_n$ of these individuals into various types, and all individuals of the same type as the chosen individual are deleted, then for each $r > 0$, given that $r$ individuals remain, these individuals are partitioned according to $π_r'$ for some sequence of random partitions $(π_r')$ that does not depend on $n$. An analogous result characterizes the associated Poisson-Dirichlet family of random discrete distributions by an independence property related to random deletion of a frequency chosen by a size-biased pick. We also survey the regenerative properties of members of the two-parameter family, and settle a question regarding the explicit arrangement of intervals with lengths given by the terms of the Poisson-Dirichlet random sequence into the interval partition induced by the range of a neutral-to-the right process.

研究动机与目标

• 解决 Pitman（2006）提出的长期猜想，即通过弱化删除性质对可交换随机划分进行刻画。
• 将 Kingman 对 Ewens 抽样公式的原始刻画推广至更广泛的两参数划分结构族。
• 通过与大小加权抽样相关的独立性性质，提出 Poisson-Dirichlet 分布的新刻画。
• 澄清并重新证明关于两参数族再生性质的结果，特别是其在乘法再生集合中区间排列方面的表现。
• 建立 $\tau$-加权排列与 Poisson-Dirichlet 分布中频率的 $\triangleleft_\theta$ 排列之间的联系。

提出的方法

• 使用弱化删除性质：在随机选择并移除一个个体及其所有同类型个体后，剩余划分的条件分布为 $\tilde{\tau}_r$，其中 $ (\tilde{\tau}_r) $ 为与 $ n $ 无关的序列。
• 应用抽样一致性和交换性，推导划分结构的形式，利用已知的可交换随机划分及其油漆箱表示结果。
• 采用频率的大小加权选取来通过独立性性质刻画 Poisson-Dirichlet 分布，改进了文献 [21] 中的早期结果。
• 利用再生集理论和乘法再生过程理论，分析由 Poisson-Dirichlet 序列导出的区间长度排列。
• 引入并分析 $\tau$-加权排列方案及其极限行为，证明其在弱收敛意义下收敛于 $\triangleleft_\theta$ 顺序。
• 应用 Kingman 关于可交换划分结构与随机离散分布之间的对应关系，将组合删除性质与 Poisson-Dirichlet 分布的分布结构联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱化删除性质——即剩余划分遵循与 $ n $ 无关的固定分布序列 $\tilde{\tau}_r$——是否唯一刻画了可交换划分的两参数族？
• RQ2 Poisson-Dirichlet 分布能否通过一个涉及单个频率大小加权抽取的独立性性质唯一刻画？
• RQ3 两参数族的再生性质如何在乘法再生集合中区间长度的显式排列中体现？
• RQ4 $\tau$-加权排列方案在划分过程中应用于块大小的极限行为是什么？其与 $\triangleleft_\theta$ 顺序有何关系？
• RQ5 在齐次中性右过程的取值范围内，Poisson-Dirichlet 频率诱导的区间排列是否有显式描述？

主要发现

• 本文证明，在正则性条件下，两参数可交换划分结构族由删除性质唯一刻画：当随机删除一个个体及其所有同类型个体后，剩余划分分布为 $\tilde{\tau}_r$，其中 $ (\tilde{\tau}_r) $ 为与 $ n $ 无关的序列。
• 相关的 Poisson-Dirichlet 分布被唯一刻画为：对频率进行大小加权抽取的结果与其余频率独立，该结果扩展了早期研究。
• $\triangleleft_\theta$ 顺序的 Poisson-Dirichlet 频率被证明在分布上等于对划分过程中块大小应用 $\tau$-加权排列后极限的分布。
• 本文给出了 Pitman 与 Winkel 关于乘法再生集合中 Poisson-Dirichlet 频率显式排列结果的全新证明，确认频率按 $\triangleleft_\theta$ 方式排序。
• 在特殊情形下——$(0,\theta)$、$(\theta,\theta)$ 和 $(\theta,0)$——区间排列有简化描述：分别为大小加权顺序、均匀随机洗牌和共大小加权顺序。
• $\tau$-加权排列方案收敛于 $\triangleleft_\theta$ 顺序的结果在 $[0,1]$ 的开子集空间上几乎必然成立，收敛拓扑为 Hausdorff 拓扑。