[论文解读] Characterizations of symmetrically partial Boolean functions with exact quantum query complexity

Daowen Qiu, Shenggen Zheng|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 41被引用 8

一句话总结

本文對具有精確量子查詢複雜度的對稱部分布尔函數進行了完整特徵分析，提出了針對承諾問題 $DJ_n^k$ 的最佳 $(k+1)$-查詢量子演算法。證明了精確量子 1-查詢複雜度僅在函數可由 Deutsch-Jozsa 演算法計算時才會出現，並為在 $n$ 為奇數時區分漢明權重 $loor n/2 floor, ceil n/2 floor$ 與 $ 0,n floor$ 建立了最佳 2-查詢演算法。

ABSTRACT

We give and prove an optimal exact quantum query algorithm with complexity $k+1$ for computing the promise problem (i.e., symmetric and partial Boolean function) $DJ_n^k$ defined as: $DJ_n^k(x)=1$ for $|x|=n/2$, $DJ_n^k(x)=0$ for $|x|$ in the set $\{0, 1,\ldots, k, n-k, n-k+1,\ldots,n\}$, and it is undefined for the rest cases, where $n$ is even, $|x|$ is the Hamming weight of $x$. The case of $k=0$ is the well-known Deutsch-Jozsa problem. We outline all symmetric (and partial) Boolean functions with degrees 1 and 2, and prove their exact quantum query complexity. Then we prove that any symmetrical (and partial) Boolean function $f$ has exact quantum 1-query complexity if and only if $f$ can be computed by the Deutsch-Jozsa algorithm. We also discover the optimal exact quantum 2-query complexity for distinguishing between inputs of Hamming weight $\{ \lfloor n/2 floor, \lceil n/2 ceil \}$ and Hamming weight in the set $\{ 0, n\}$ for all odd $n$. In addition, a method is provided to determine the degree of any symmetrical (and partial) Boolean function.

研究动机与目标

• 根據其精確量子查詢複雜度，對對稱部分布尔函數進行完全特徵分析。
• 將 Deutsch-Jozsa 問題推廣至更廣泛的承諾問題類別 $DJ_n^k$，並為其提供最佳量子演算法。
• 確定度數為 1 和 2 的對稱部分布尔函數的精確量子查詢複雜度。
• 利用 Deutsch-Jozsa 框架，建立精確 1-查詢量子可計算性的必要與充分條件。
• 發展一種通用方法，以確定任意對稱部分布尔函數的度數，進而實現複雜度分類。

提出的方法

• 針對定義在漢明權重為 $n/2$（輸出為 1）以及漢明權重屬於 $\{0,1,\dots,k,n-k,n-k+1,\dots,n\}$（輸出為 0）之輸入上的承諾問題 $DJ_n^k$，提出一種新的精確量子查詢演算法，其複雜度為 $k+1$，所有其他輸入均未定義。
• 以 Deutsch-Jozsa 演算法為基礎工具，證明任何具有精確 1-查詢複雜度的對稱部分布尔函數，必與 Deutsch-Jozsa 問題同構。
• 應用填充方法，將特定情況（例如 $n=4m$）的結果推廣至一般 $n$，在保持查詢複雜度的同時，實現 2-查詢演算法的推廣。
• 提出一種方法，透過分析其譜性質與查詢複雜度行為，以確定對稱部分布尔函數的度數。
• 在多查詢量子演算法中，將 Grover 演算法作為子程序，用於檢測特定漢明權重，進而構成 2- 和 4-查詢架構的核心。
• 利用同構與結構分析，證明某些函數（例如 $\text{DW}_{n}^{k,l}$）無法以少於 2 個查詢計算，並透過度數分析建立下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於哪些對稱部分布尔函數，存在僅使用 1 個查詢的精確量子演算法？
• RQ2 廣義承諾問題 $DJ_n^k$ 的精確量子查詢複雜度為何？
• RQ3 能否發展一種通用方法，以確定任意對稱部分布尔函數的度數？
• RQ4 當 $n$ 為奇數時，區分漢明權重 $loor n/2 floor, ceil n/2 floor$ 與 $ 0,n floor$ 的最佳精確量子查詢複雜度為何？
• RQ5 如何利用填充方法，將 2-查詢演算法從特定參數範圍推廣至一般參數範圍？

主要发现

• 針對承諾問題 $DJ_n^k$，構造出複雜度為 $k+1$ 的最佳精確量子查詢演算法，推廣了 Deutsch-Jozsa 問題。
• 證明對稱部分布尔函數具有精確量子 1-查詢複雜度，當且僅當其與 Deutsch-Jozsa 問題同構。
• 當 $n$ 為奇數時，確立了區分漢明權重 $loor n/2 floor, ceil n/2 floor$ 與 $ 0,n floor$ 的最佳精確量子 2-查詢複雜度，且 $Q_E(f^{(4)}_n) = 2$。
• 函數 $\text{DW}_{4m}^{m,3m}$ 的精確量子查詢複雜度為 $Q_E = 2$，此結果進一步推廣至在特定 $n,k,l$ 條件下 $Q_E(\text{DW}_n^{k,l}) = 2$。
• 提供一種通用方法，以確定任意對稱部分布尔函數的度數，進而實現其精確量子查詢複雜度的分類。
• 證明 $Q_E(f^{(2)}_{n,k}) \leq 4$ 當 $n/4 \leq k < n$，且 $Q_E(f^{(4)}_n) \leq 5$ 當 $n$ 為奇數，並透過度數與同構分析確立緊緻界。