[论文解读] Characterizing matrix monotonicity of fixed order on general sets

Otte Heinävaara|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2019

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文通过高阶差商，利用一般子集上的 $n$-单调与 $n$-凸函数的新刻画，统一并推广了 Loewner、Dobsch 和 Donoghue 的经典结果。主要贡献是针对任意集合上 $n$-单调性的充要条件：对所有 $1 \leq k \leq n$ 和所有 $q \in \mathbb{C}_{k-1}[x]$，$fq^2$ 的 $2k-1$ 阶差商非负；并给出一个精确的反例，表明此类函数通常无法延拓至其凸包。

ABSTRACT

We give new characterizations for matrix monotonicity and convexity of fixed order which connects previous characterizations by Loewner, Dobsch, Donoghue, Kraus and Bendat--Sherman. The ideas introduced are then used to characterize matrix monotone functions of arbitrary order on general subsets of the real line.

研究动机与目标

• 通过高阶差商统一并推广 $n$-单调与 $n$-凸函数的经典刻画。
• 将 $n$-单调性理论从区间推广至 $\mathbb{R}$ 的任意子集，弥补文献中的空白。
• 建立 $n$-单调性在一般集合上为局部性质，即使定义域非区间亦成立。
• 提供一个精确反例，表明有限集上的 $n$-单调函数通常无法延拓至其凸包。

提出的方法

• 引入一种基于 $fq^2$ 的 $2k-1$ 阶差商的新 $n$-单调性刻画，其中 $f$ 定义在集合 $F$ 上，$q$ 为次数 $k-1$ 的多项式。
• 利用差商的 Peano 核表示，将新刻画与现有的矩阵型刻画联系起来。
• 证明：集合 $F$ 上的 $n$-单调性等价于对所有 $1 \leq k \leq n$ 和所有两两不同的 $x_i \in F$，有 $[x_0, \dots, x_{2k-1}]_{fq^2} \geq 0$，其中 $q \in \mathbb{C}_{k-1}[x]$。
• 通过构造有理函数 $r_1$ 和 $r_2$（次数为 $n-1$）在 $2n$ 个点上一致但外部不同的反例，证明若不违反 $n$-单调性，则无法将 $f$ 延拓至凸包中的某点。
• 利用 $n$-单调性蕴含 $k$-单峰性（$k = 2n-1$）的事实，推导出正则性与不可延拓性结果。
• 应用该刻画证明：若 $F$ 无界且 $f:F\to\mathbb{R}$ 为 $2$-单调，则 $f$ 必为仿射函数，依据三阶差商在缩放下的消失性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 $fq^2$ 的差商条件刻画 $\mathbb{R}$ 一般子集上的 $n$-单调性？
• RQ2 $n$-单调性在任意集合上是否为局部性质，即使集合非区间？
• RQ3 每个定义在有限集上的 $n$-单调函数是否总能延拓至其凸包并保持 $n$-单调性？
• RQ4 一般集合上 $n$-单调性精确蕴含何种正则性？其与差商的关系为何？
• RQ5 在何种定义域条件下，$n$-单调性迫使函数为仿射函数？

主要发现

• 函数 $f:F\to\mathbb{R}$ 是 $n$-单调的充分必要条件是：对所有 $1 \leq k \leq n$，所有两两不同的 $x_i \in F$，以及所有 $q \in \mathbb{C}_{k-1}[x]$，有 $[x_0,\dots,x_{2k-1}]_{fq^2} \geq 0$。
• 若 $\#F > 2n$，仅需验证 $k = n$ 时的条件，从而简化了大有限集上的验证过程。
• $n$-单调性理论具有局部性：若 $f$ 在重叠区间上为 $n$-单调，则其在并集上亦为 $n$-单调，即使定义域非区间亦成立。
• 存在有限集 $F$ 及 $n$-单调函数 $f:F\to\mathbb{R}$，其无法延拓至 $\operatorname{conv}(F)\setminus F$ 中的任意点，表明凸包延拓并非总是可行。
• 若 $F$ 无界且 $f:F\to\mathbb{R}$ 为 $2$-单调，则 $f$ 必为仿射函数，此由三阶差商在缩放下消失可得。
• $n$-单调性蕴含 $f$ 为 $(2n-1)$-单峰，即所有 $2n-1$ 阶差商非负，从而推出 $f \in C^{2n-3}$。