[论文解读] Characterizing polynomial domains by their automorphism group

Andrew Zimmer|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 15被引用 3

一句话总结

该论文证明：一个具有光滑边界且有界的凸域，当且仅当其自守群的极限集与至少两个闭复面相交时，其双全纯等价于一个加权齐次多项式域。证明方法结合了尺度化技术、Kobayashi度量几何以及非正曲率方法，验证了Greene-Krantz猜想的一个特例，并得出了关于全纯映射、边界延拓及复测地线的新结果。

ABSTRACT

In this paper we study the automorphism group of bounded convex domains with smooth boundary. In particular, we show that such a domain is biholomorphic to a weighted homogeneous polynomial domain if and only if the limit set of the automorphism group intersects at least two closed complex faces of the set. The proof combines rescaling arguments with a detailed study of the geometry of the Kobayashi metric. In particular a number of ideas from the theory of non-positively curved metric spaces are used. A key step in the argument is establishing the Greene-Krantz conjecture in the case of uniform non-tangential convergence. We also obtain new results about the behavior of holomorphic maps between convex domains, in particular new results about continuous extensions (of bi-holomorphisms and complex geodesics) and a new Denjoy-Wolff theorem.

研究动机与目标

• 刻画具有光滑边界且双全纯等价于加权齐次多项式域的有界凸域。
• 确定自守群极限集与多个闭复面相交的几何条件。
• 确立Greene-Krantz猜想的一个特例，即关于自守序列在一致非切向收敛下的结论。
• 将全纯映射与复测地线连续延拓至凸域的边界。
• 为凸域的全纯自映射建立一个新的Denjoy-Wolff型定理。

提出的方法

• 使用尺度化论证分析自守序列在边界点附近的行为渐近性。
• 详细研究Kobayashi度量的几何结构，以理解自守群极限集的结构。
• 应用非正曲率度量空间的技术，分析Kobayashi度量的收敛性与曲率性质。
• 研究边界复面与自守群作用之间的相互作用。
• 对凸域之间的全纯映射进行详细分析，以建立其向边界连续延拓的性质。
• 通过自守动力学与边界几何的相互作用，推导出一个新的Denjoy-Wolff定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个具有光滑边界且有界的凸域双全纯等价于一个加权齐次多项式域？
• RQ2 自守群极限集与多个闭复面相交，如何反映该域的代数结构？
• RQ3 在自守序列一致非切向收敛的条件下，Greene-Krantz猜想是否成立？
• RQ4 凸域之间的双全纯映射与复测地线是否能连续延拓至边界？
• RQ5 凸域的全纯自映射在边界附近表现出何种动力学性质？其如何推广经典Denjoy-Wolff定理？

主要发现

• 一个具有光滑边界且有界的凸域，当且仅当其自守群极限集与至少两个闭复面相交时，双全纯等价于一个加权齐次多项式域。
• 在自守序列一致非切向收敛的情形下，证实了Greene-Krantz猜想。
• 获得了关于凸域内部到边界全纯映射与复测地线连续延拓的新结果。
• 为凸域的全纯自映射建立了新的Denjoy-Wolff定理，将经典结果推广至该几何设定。
• Kobayashi度量的几何结构，特别是其与非正曲率的关系，在刻画自守群极限集方面起着核心作用。