[论文解读] Cheeger constant, $p$-Laplacian, and Gromov-Hausdorff convergence

Shouhei Honda|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 43被引用 9

一句话总结

本文建立了在Ricci曲率有下界的一类Riemann流形的极限空间上，关于Gromov-Hausdorff拓扑和参数 $ p $ 的 $(\lambda_{1,p}(X))^{1/p}$ 的连续性与上半连续性。关键结果是一个与 $ p $ 无关的尺度不变双向估计 $ (\lambda_{1,p}(M))^{1/p} \asymp h(M) \asymp (\mathrm{diam}\,M)^{-1} $，该结果推广了Cheeger与Buser的不等式，并导出了一个新的Lichnerowicz-Obata型定理。

ABSTRACT

We discuss the behavior of $(λ_{1. p}(M))^{1/p}$ with respect to the Gromov-Hausdorff topology and the variable $p$, where $λ_{1, p}(M)$ is the first positive eigenvalue of the $p$-Laplacian on a compact Riemannian manifold $M$. Applications include new estimates for the first eigenvalues of the $p$-Laplacian on Riemannian manifolds with lower Ricci curvature bounds, and isoperimetric inequalities on Gromov-Hausdorff limit spaces. We also establish a new Lichnerowicz-Obata type theorem.

研究动机与目标

• 分析在Ricci曲率有下界条件下，紧致度量测度空间上 $ (\lambda_{1,p}(X))^{1/p} $ 沿Gromov-Hausdorff收敛的行为。
• 在 $ n $ 维Riemann流形（具有直径与Ricci曲率有界）的Gromov-Hausdorff紧化空间上，建立映射 $ F((Y,\nu),p) = (\lambda_{1,p}(Y))^{1/p} $ 的连续性与上半连续性。
• 在满足 $ \mathrm{Ric}_M \geq K(n-1) $ 的流形上，推导出 $ p $-Laplacian 第一特征值的新尺度不变估计。
• 证明关于Ricci有界流形极限空间上 $ p $-Laplacian 特征值的新的Lichnerowicz-Obata型定理。

提出的方法

• 通过紧致度量测度空间上的Minkowski外边界测度定义Cheeger常数 $ h(X) $。
• 将 $ p $-Laplacian 特征值 $ \lambda_{1,p}(X) $ 定义为在 $ L^p $-归一化与 $ L^{p-2} $-正交性条件下，Lipschitz函数的 $ L^p $-半范数的下确界。
• 研究函数 $ F((Y,\nu),p) $，该函数分别在 $ p=1, 1<p<\infty, p=\infty $ 时统一了 $ h(Y) $、$ (\lambda_{1,p}(Y))^{1/p} $ 与 $ 2/(\mathrm{diam}\,Y) $。
• 利用收敛性论证并对比模型空间（如 $ \mathbf{S}^n $），证明 $ F $ 在 Gromov-Hausdorff 紧化空间 $ \overline{M(n,K,d)} \times [1,\infty] $ 上的上半连续性与连续性。
• 通过比较几何与球面上特征函数的径向对称性，利用从 $ \mathbf{S}^n $ 拉回的测试函数来控制 $ \lambda_{1,p}(X) $。
• 应用 $ F $ 的连续性，推导出定量稳定性估计：若对某个 $ q \geq p $，有 $ (\lambda_{1,q}(M))^{1/q} $ 接近 $ (\lambda_{1,q}(\mathbf{S}^n))^{1/q} $，则对所有 $ \hat{q} \geq p $，有 $ (\lambda_{1,\hat{q}}(M))^{1/\hat{q}} $ 均接近 $ (\lambda_{1,\hat{q}}(\mathbf{S}^n))^{1/\hat{q}} $，且误差受函数 $ \Psi(\epsilon; n, p) $ 控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Ricci曲率有下界的紧致Riemann流形沿Gromov-Hausdorff收敛时，量 $ (\lambda_{1,p}(X))^{1/p} $ 的行为如何？
• RQ2 映射 $ F((Y,\nu),p) = (\lambda_{1,p}(Y))^{1/p} $ 在此类流形的Gromov-Hausdorff紧化空间上是否连续或上半连续？
• RQ3 在Ricci曲率与直径有界条件下，能否对 $ (\lambda_{1,p}(M))^{1/p} $ 建立一个与 $ p $ 无关的尺度不变双向估计？
• RQ4 $ p $-Laplacian 特征值 $ (\lambda_{1,p}(M))^{1/p} $ 是否在 $ p \to \infty $ 时趋于与直径相关的同一值，其关系如何？
• RQ5 能否利用 $ F $ 的连续性，推导出不同 $ p $-值下特征值的定量稳定性结果？

主要发现

• 函数 $ F((Y,\nu),p) $ 在 $ \overline{M(n,K,d)} \times [1,\infty] $ 上是上半连续的，并在 $ \overline{M(n,K,d)} \times (1,\infty] $ 上连续，推广了关于Laplacian特征值连续性的先前结果。
• 对任意满足 $ \mathrm{Ric}_M \geq K(n-1) $ 且 $ (\mathrm{diam}\,M)^2 \mathrm{Ric}_M \geq K(n-1) $ 的 $ n $ 维紧致Riemann流形 $ M $，对所有 $ 1 < p < \infty $，均有估计 $ (\lambda_{1,p}(M))^{1/p} \asymp h(M) \asymp (\mathrm{diam}\,M)^{-1} $，其中常数仅依赖于 $ n $ 与 $ K $。
• $ F $ 的连续性意味着：若对某个 $ q \geq p $，有 $ (\lambda_{1,q}(M))^{1/q} $ 接近 $ (\lambda_{1,q}(\mathbf{S}^n))^{1/q} $，则对所有 $ \hat{q} \geq p $，有 $ (\lambda_{1,\hat{q}}(M))^{1/\hat{q}} $ 均均匀接近 $ (\lambda_{1,\hat{q}}(\mathbf{S}^n))^{1/\hat{q}} $，且误差受函数 $ \Psi(\epsilon; n, p) $ 控制。
• 本文证明了一个新的Lichnerowicz-Obata型定理：若对某个 $ p \in (1,\infty] $，有 $ (\lambda_{1,p}(M))^{1/p} = 2/\mathrm{diam}\,M $，则 $ M $ 同构于标准球面 $ \mathbf{S}^n $。
• 该结果将Grosjean的极限 $ \lim_{p \to \infty} (\lambda_{1,p}(M))^{1/p} = 2/\mathrm{diam}\,M $ 推广至Gromov-Hausdorff拓扑，并建立了其稳定性。
• 证明依赖于在极限空间上构造径向测试函数，并与 $ \mathbf{S}^n $ 上的特征函数进行比较，通过Colding的体积比较与Lévy-Gromov等周不等式实现测度比较。