[论文解读] Cheeger-Gromov compactness for manifolds with boundary

Olaf Müller|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用 3

一句话总结

该论文通过利用高度函数将问题约化为哈密顿的无边界的紧致性定理，建立了在 $(c,k+1)$-有界几何条件下，带边界的带基点黎曼流形序列的切赫-格罗莫夫紧致性。关键结果是：当基点到边界的距离一致有界时，此类序列在 $C^k$-拓扑下亚收敛于一个带边界的极限流形。

ABSTRACT

We prove Cheeger-Gromov convergence for a subsequence of a given sequence of manifolds-with-boundary of bounded geometry. The method of the proof is to reduce, via height functions, the problem to the setting of Hamilton's compactnes theorem for manifolds without boundary.

研究动机与目标

• 建立带边界的黎曼流形序列的切赫-格罗莫夫紧致性，将已知的无边流形结果推广至带边情形。
• 解决先前关于带边流形的紧致性结果中缺乏直径有界性和固定拓扑的问题。
• 证明在 $(c,k+1)$-有界几何条件下，即使极限流形可能非紧致，$C^k$-亚收敛性依然成立。
• 确保当基点到边界的距离一致有界时，极限流形继承非空边界。

提出的方法

• 通过在每个流形 $M_i$ 上构造一个高度函数 $f_i$，将带边流形的紧致性问题约化为无边情形。
• 利用法向指数映照将每个 $M_i$ 扩展为更大的无边流形 $X_i$，同时保持几何有界性。
• 对扩展后的序列 $(X_i, ar{g}_i, x_i^0, f_i)$ 应用哈密顿的紧致性定理，确保扩展流形和高度函数在 $C^k$-拓扑下收敛。
• 通过高度函数的梯度流构造微分同胚 $D_i^r$，在子水平集 $X_i^{f_i}$ 上诱导出 $C^k$-收敛性，这些集合对应于原始的 $M_i$。
• 利用测地线插值校正微分同胚，确保在紧致子集上以 $C^k$-拓扑收敛。
• 利用曲率、注入半径和第二基本形式的统一有界性，控制黎曼度量及其导数的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设一致直径有界性或固定拓扑的条件下，建立带边流形序列的切赫-格罗莫夫紧致性？
• RQ2 在何种几何条件下，带边流形的带基点序列在 $C^k$-拓扑下亚收敛于一个带边界的极限流形？
• RQ3 是否可以通过适当的几何约化，将无边流形的紧致性结果（哈密顿定理）推广至带边情形？
• RQ4 基点到边界的距离在决定极限流形是否具有非空边界方面起什么作用？
• RQ5 高度函数如何用于控制边界几何，并确保诱导度量的 $C^k$-收敛性？

主要发现

• 在 $(c,k+1)$-有界几何条件下，带边界的 $n$-维带基点流形序列在 $C^k$-拓扑下亚收敛于一个 $k$ 阶有界几何的极限流形 $(M_∞, g_∞, x_∞^0)$。
• 当序列 $\{d_i(x_i^0, \partial M_i)\}$ 一致有界时，极限流形具有非空边界。
• 证明依赖于通过高度函数将每个带边流形扩展为无边流形，从而可应用哈密顿的紧致性定理。
• 通过梯度流和紧致子集上的测地线插值构造 $C^k$-收敛微分同胚，实现切赫-格罗莫夫收敛。
• 极限高度函数的零点集的存在性确保了当基点到边界距离一致有界时，极限流形的边界非空。
• 即使极限流形非紧致，该结果依然成立，且无需直径一致有界或拓扑固定。