[论文解读] Cheeger-Mueller Theorem on manifolds with cusps

Boris Vertman|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 47被引用 4

一句话总结

本文通过证明重整化 Ray-Singer 分析 torsion 与交集 R-torsion 之间的相等性（误差项依赖于截面的 Betti 数与模型圆锥的 torsion），建立了带有柱面的 Witt 流形上的 Cheeger-Müller 定理。证明结合了在模型柱面上显式计算分析 torsion 的方法以及对具有渐近圆锥端的非紧流形的一般粘合公式。

ABSTRACT

We prove equality between the renormalized Ray-Singer analytic torsion and the intersection R-torsion on a Witt-manifold with cusps, up to an error term determined explicitly by the Betti numbers of the cross section of the cusp and the intersection R-torsion of a model cone. In the first step of the proof we compute explicitly the renormalized Ray-Singer analytic torsion of a model cusp in general dimension and without the Witt-condition. In the second step we establish a gluing formula for renormalized Ray-Singer analytic torsion on a general class of non-compact manifolds in any dimension that includes Witt-manifolds with cusps, but also scattering manifolds with asymptotically conical ends. In the final step, a Cheeger-Mueller theorem on cusps follows by a combination of the previous explicit computation and the gluing formula.

研究动机与目标

• 将 Cheeger-Müller 定理推广至具有柱面奇点的非紧 Witt 流形。
• 通过引入重整化，解决奇异空间中分析 torsion 的谱贡献挑战。
• 为具有渐近圆锥端的非紧流形上的分析 torsion 建立一个粘合公式。
• 在一般维度下显式计算模型柱面上的重整化 Ray-Singer 分析 torsion。
• 证明在带有柱面的 Witt 流形上，分析 torsion 与交集 R-torsion 相等，误差项由拓扑决定。

提出的方法

• 利用修正贝塞尔函数的渐近展开，显式计算标量柱面算子的 zeta-正则化行列式。
• 推导出一类包含柱面与散射端的非紧流形上重整化 Ray-Singer 分析 torsion 的一般粘合公式。
• 应用 Spreafico 的双重求和法计算模型无限柱面的分析 torsion。
• 利用粘合公式将整个流形上的分析 torsion 与截断柱面及内部区域的分析 torsion 联系起来。
• 依赖于交集上同调框架与 Dar 的分层空间交集 R-torsion。
• 结合模型柱面上的显式计算与粘合公式，推导出 Cheeger-Müller 等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 Cheeger-Müller 定理是否适用于具有柱面奇点的非紧 Witt 流形？
• RQ2 在任意维度下，重整化 Ray-Singer 分析 torsion 在模型柱面上的行为如何？
• RQ3 能否在具有渐近圆锥端的非紧流形上建立分析 torsion 的一般粘合公式？
• RQ4 在带有柱面的 Witt 流形上，分析 torsion 与交集 R-torsion 之间的精确误差项是什么？
• RQ5 柱面截面的 Betti 数与模型圆锥的 torsion 如何影响分析 torsion 与组合 torsion 之间的差异？

主要发现

• 在一般维度下，显式计算了模型柱面上的重整化 Ray-Singer 分析 torsion，且无需依赖 Witt 条件。
• 为具有渐近圆锥端的非紧流形（包括带有柱面的 Witt 流形）建立了分析 torsion 的一般粘合公式。
• Cheeger-Müller 定理在带有柱面的 Witt 流形上成立，分析 torsion 与交集 R-torsion 的差异由柱面截面的 Betti 数与模型圆锥 torsion 的项构成。
• Cheeger-Müller 等式中的误差项显式给出为一个关于上同调度数的求和，其权重为 |p - n/2|，并乘以 Betti 数与对数因子。
• 结果确认了奇异空间上分析 torsion 的拓扑解释，将经典定理扩展至非紧流形。
• 最终公式将分析 torsion 与交集 torsion 的对数比表示为关于上同调度数的求和，系数包含 |n/2 - p| 与 log(2|n/2 - p|)。