[论文解读] Cherednik algebras and Hilbert schemes in characteristic p

Roman Bezrukavnikov, Michael Finkelberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文在特征 p 的有限域上建立了 A_{n-1} 型有理 Cherednik 代数的局部化定理，构造了平面上 n 个点的 Hilbert 模向上的一個 Azumaya 代数 H_c。證明了 H_c-模的有界導出範疇與 Hilbert 模式上相干 H_c-模的有界導出範疇之間的等價關係，並顯示該代數在 Hilbert-Chow 映射的纖的形式鄰域上可分裂，與 Bridgeland-King-Reid 及 Haiman 的結果相連結。

ABSTRACT

To David Kazhdan with admiration We prove a localization theorem for the type An−1 rational Cherednik algebra Hc = H1,c(An−1) over Fp, an algebraic closure of the finite field. In the most interesting special case where c∈Fp, we construct an Azumaya algebra Hc on Hilb n A 2, the Hilbert scheme of n points in the plane, such that Γ(Hilb n A 2, Hc) = Hc. Our localization theorem provides an equivalence between the bounded derived categories of Hc-modules and sheaves of coherent Hc-modules on Hilb n A 2, respectively. Furthermore, we show that the Azumaya algebra splits on the formal neighborhood of each fiber of the Hilbert-Chow morphism. This provides a link between our results and those of Bridgeland-King-Reid and Haiman.

研究动机与目标

• 將有理 Cherednik 代數的局部化定理推廣至正特徵，特別是在 F_p 上。
• 當 c ∈ F_p 時，在 Hilb^n A^2 上構造一個 Azumaya 代數 H_c。
• 建立 H_c-模的有界導出範疇與 Hilbert 模式上相干 H_c-模的有界導出範疇之間的等價關係。
• 分析 Azumaya 代數在 Hilbert-Chow 映射纖的形鄰域上的分裂性質。
• 將結果與 Bridgeland-King-Reid 及 Haiman 在 Hilbert 模式與導出等價性方面的既有工作聯繫起來。

提出的方法

• 在 F_p 的代數閉包上使用有理 Cherednik 代數 H_c = H_{1,c}(A_{n-1})。
• 透過正特徵中的局部化，在 Hilb^n A^2 上構造 Hilbert 模式上的 Azumaya 代數 H_c。
• 應用幾何表示理論技術，將 H_c-模與 Hilb^n A^2 上的相干層聯繫起來。
• 採用形式鄰域分析，研究 Azumaya 代數沿 Hilbert-Chow 映射纖的分裂性質。
• 利用關於 Hilbert 模式與導出範疇的已知結果，建立范畴等價關係。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何將 Cherednik 代數的局部化定理推廣至正特徵？
• RQ2 當 c 屬於 F_p 時，Hilbert 模式 Hilb^n A^2 上的有理 Cherednik 代數 H_c 的結構為何？
• RQ3 Hilbert 模式 Hilb^n A^2 上的 Azumaya 代數 H_c 是否在 Hilbert-Chow 映射每條纖的形鄰域上可分裂？
• RQ4 H_c-模的導出範疇與 Hilbert 模式上相干 H_c-模的導出範疇之間有何關係？
• RQ5 這些結果如何與 Bridgeland-King-Reid 及 Haiman 對 Hilbert 模式導出等價性的既有定理相連結？

主要发现

• 當 c ∈ F_p 時，在 Hilbert 模式 Hilb^n A^2 上構造了一個 Azumaya 代數 H_c，其整體截面同構於 H_c。
• 建立了 H_c-模的有界導出範疇與 Hilbert 模式上相干 H_c-模的有界導出範疇之間的導出等價關係。
• Azumaya 代數 H_c 在 Hilbert-Chow 映射每條纖的形鄰域上可分裂。
• 局部化定理提供了經典 Beilinson-Bernstein 局部化在正特徵下的特徵 p 模擬。
• 這些結果在正特徵下建立了 Cherednik 代數、Hilbert 模式與導出範疇之間的新聯繫，拓展了 Bridgeland-King-Reid 與 Haiman 的框架。