[论文解读] Chern-Simons Gauge Theory As A String Theory

Edward Witten|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 1992

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用 93

一句话总结

本文提出，通过在 $T^*M$ 上的拓扑 sigma 模型，三维 Chern-Simons 规范理论可作为弦理论涌现出来，其中世界面理论中的瞬子贡献在时空 Chern-Simons 拉格朗日量中生成了威尔逊线插入项。关键结果是，该弦模型的微扰展开精确重现了 Chern-Simons 微扰理论，从而建立了该理论的背景无关、规范不变的时空解释。

ABSTRACT

Certain two dimensional topological field theories can be interpreted as string theory backgrounds in which the usual decoupling of ghosts and matter does not hold. Like ordinary string models, these can sometimes be given space-time interpretations. For instance, three-dimensional Chern-Simons gauge theory can arise as a string theory. The world-sheet model in this case involves a topological sigma model. Instanton contributions to the sigma model give rise to Wilson line insertions in the space-time Chern-Simons theory. A certain holomorphic analog of Chern-Simons theory can also arise as a string theory.

研究动机与目标

• 探讨在拓扑弦模型中通常的鬼场-物质场解耦失效的情况下，三维 Chern-Simons 规范理论是否可被解释为弦理论。
• 构建一个以 $T^*M$ 为目标空间的拓扑 sigma 模型作为世界面理论，以重现 Chern-Simons 理论的微扰结构。
• 确定该模型的开弦版本的时空解释，表明其在微扰理论中与 Chern-Simons 理论等价。
• 研究闭弦在模型中的作用，特别是其在不改变开弦振幅的前提下消除反常的可能性。
• 阐明拓扑弦理论、Chern-Simons 理论与 Kontsevich 等人研究的数学不变量之间的联系。

提出的方法

• 构建以 $T^*M$ 为目标空间的拓扑 sigma 模型，其中 $M$ 是一个三维流形，作为世界面理论。
• 利用在 $M$ 上边界处无有限作用瞬子，但无穷远处的虚瞬子对路径积分有贡献的事实。
• 证明对无穷远处这些虚瞬子的计数精确重现了 Axelrod 和 Singer 所定义的 Chern-Simons 理论的微扰展开。
• 应用开弦场论推导时空有效作用量，将其识别为带有威尔逊线插入项的 Chern-Simons 理论。
• 通过将闭弦附加到有限长度的开弦传播子上，分析闭弦扇区，其模参数对应于长度和附着点。
• 证明闭弦传播子通过 $b_0$ 算符作用于调和形式，使物理态被湮灭，从而实现闭弦与开弦振幅的解耦。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设鬼场与物质场解耦的前提下，三维 Chern-Simons 规范理论能否作为弦理论实现？
• RQ2 在 $T^*M$ 上的拓扑 sigma 模型中，瞬子贡献如何在时空 Chern-Simons 拉格朗日量中生成威尔逊线插入项？
• RQ3 该拓扑弦模型的开弦版本的时空解释是什么？
• RQ4 闭弦在模型中扮演何种角色，特别是在反常与有限性方面的意义？
• RQ5 该构造如何与 Kontsevich 关于 Chern-Simons 理论和拓扑不变量的观察相联系？

主要发现

• 在 $T^*M$ 上的拓扑 sigma 模型的微扰展开精确重现了 Axelrod 和 Singer 定义的微扰 Chern-Simons 理论。
• 时空 Chern-Simons 理论中的威尔逊线插入项源于世界面 sigma 模型中无穷远处的虚瞬子。
• 该模型的开弦场论导出的时空作用量在微扰理论中等价于三维 Chern-Simons 规范理论。
• 由于闭弦传播子通过 $b_0$ 算符使物理态被湮灭，闭弦与开弦振幅解耦，从而保持了理论的有限性。
• 该模型首次完整确定了弦理论的背景无关、规范不变的时空解释。
• 该构造通过拓扑弦理论和虚瞬子的视角，解释了 Kontsevich 关于 Chern-Simons 理论的观察。