[论文解读] A Perturbative Window into Non-Perturbative Physics

Robbert Dijkgraaf, Cumrun Vafa|ArXiv.org|Aug 7, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 50被引用 365

一句话总结

本文提出，${\cal N}=1$ 超对称 gauge 理论中的精确有效超势能可通过求和同一理论的平面图进行微扰计算，将计算映射到以树图超势能为作用量的矩阵模型。关键结果是微扰的亏格展开能产生精确的非微扰 instanton 效应，从而从纯粹微扰的、平面的视角揭示了如 Seiberg-Witten 和 Montonen-Olive 对偶性，而无需依赖对偶理论或猜想。

ABSTRACT

We argue that for a large class of N=1 supersymmetric gauge theories the effective superpotential as a function of the glueball chiral superfield is exactly given by a summation of planar diagrams of the same gauge theory. This perturbative computation reduces to a matrix model whose action is the tree-level superpotential. For all models that can be embedded in string theory we give a proof of this result, and we sketch an argument how to derive this more generally directly in field theory. These results are obtained without assuming any conjectured dualities and can be used as a systematic method to compute instanton effects: the perturbative corrections up to n-th loop can be used to compute up to n-instanton corrections. These techniques allow us to see many non-perturbative effects, such as the Seiberg-Witten solutions of N=2 theories, the consequences of Montonen-Olive S-duality in N=1* and Seiberg-like dualities for N=1 theories from a completely perturbative planar point of view in the same gauge theory, without invoking a dual description.

研究动机与目标

• 建立微扰平面图与 ${\cal N}=1$ 超对称 gauge 理论中精确非微扰动力学之间的直接联系。
• 证明以胶球超场 $S$ 表示的有效超势能恰好由同一 gauge 理论的所有平面图求和给出。
• 表明此微扰计算可约化为以树图超势能为作用量的矩阵模型，从而实现精确重求和。
• 在不引入对偶理论或弦理论的前提下，推导出非微扰现象——如 Seiberg-Witten 解和 Montonen-Olive 对偶性。
• 提供一种系统方法，利用 $n$-圈微扰结果计算 instanton 修正。

提出的方法

• 通过平面图求和计算以胶球 chiral 超场 $S = \frac{1}{32\pi^2} \mathrm{Tr} \, W_\alpha W^\alpha$ 为变量的有效超势能。
• 证明平面图可约化为作用量等于树图超势能的矩阵模型。
• 对于可嵌入弦理论的理论，通过涉及几何转变和拓扑弦理论的对偶链证明结果。
• 简要给出一种场论论证，无需弦理论，依赖全纯性和局部化推导结果。
• 证明亏格 $g$ 的微扰图可计算 $g$-instanton 修正，其中亏格一图贡献重力的 $R^2$ 耦合。
• 将矩阵模型的大 $N$ 解释为定义了一个 Calabi-Yau 三复形几何，该几何编码了非微扰动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过同一 gauge 理论的平面图求和，纯粹微扰地计算 ${\cal N}=1$ gauge 理论中的精确有效超势能？
• RQ2 在相同 gauge 理论中对平面图求和是否能重现 instanton 和对偶性等非微扰效应？
• RQ3 由平面图导出的矩阵模型能否捕捉完整的非微扰结构，包括 Seiberg-Witten 和 Montonen-Olive 对偶性？
• RQ4 在缺乏对偶描述的情况下，微扰亏格展开是否等价于分数 instanton 展开？
• RQ5 此方法能否从 $n$-圈微扰理论系统地计算 $n$-instanton 修正？

主要发现

• ${\cal N}=1$ 理论中的有效超势能恰好由同一理论的所有平面图求和给出，无需对偶描述。
• 此平面图求和可约化为作用量等于树图超势能的矩阵模型，从而实现精确重求和。
• 微扰展开中的亏格 $g$ 项计算了 $g$-instanton 修正，建立了微扰理论与非微扰效应之间的直接联系。
• 对于 ${\cal N}=1^*$ 理论，亏格一修正重现了 $f(\tau_0) = -\log \eta(\tau_0/2)$ 耦合，与 $\eta$-函数行列式已知结果一致。
• 矩阵模型的大 $N$ 解产生一个 Calabi-Yau 三复形几何，该几何编码了非微扰动力学，其周期与全纯三形式在 $A$-和 $B$-循环上的积分相关。
• 在 $S$-对偶群中的模形式变换作用于矩阵模型的周期，表明完整的对偶结构源自平面极限。