[论文解读] Chern-Weil calculus extended to a class of infinite dimensional manifolds

Sylvie Paycha|ArXiv.org|Jun 18, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文将经典的Chern-Weil形式推广至基于Fréchet代数上零阶经典伪微分算子的无限维流形。通过使用正规化迹——光滑算子上标准迹的线性延拓——构造了加权Chern-Weil形式，其不闭合的缺陷由非交换余迹度量，从而在伪微分Grassmann流形和环路群等几何设定中通过反项实现重整化。

ABSTRACT

We discuss possible extensions of the classical Chern-Weil formalism to an infinite dimensional setup. This is based on joint work with Steven Rosenberg, joint work with Simon Scott and joint work with Jouko Mickelsson.

研究动机与目标

• 将经典的Chern-Weil同态推广至无限维李群，特别是可逆零阶经典伪微分算子群。
• 通过引入在光滑算子上与标准迹一致但未必在换位子上保持迹性质的正规化迹，解决无限维李代数中缺乏良好定义迹的问题。
• 利用非交换余迹度量加权Chern-Weil形式在无限维中不闭合的缺陷。
• 通过添加基于余迹的反项，在伪微分Grassmann流形和环路群等几何设定中构造重整化的闭合Chern-Weil形式。
• 通过超联络形式体系，建立加权Chern-Weil形式与Dirac算子族的Chern示性类之间的联系。

提出的方法

• 在偶维自旋流形上的一族Dirac算子上使用Bismut超联络，以定义曲率与加权Chern形式。
• 对超联络应用Getzler的缩放，分析热核的渐近展开，提取局部不变量。
• 在零阶经典伪微分算子代数上引入正规化迹，其在光滑算子上与标准迹一致，但在换位子上未必保持迹性质。
• 通过非交换余迹度量加权Chern-Weil形式与闭形式之间的差异，捕捉其不闭合的障碍。
• 利用非交换余迹构造反项，将非闭形式重整化为闭形式，尤其在伪微分Grassmann流形的背景下。
• 建立精确公式，将第$j$个Chern形式与热核超迹的$ frac{n}{2}$-阶分量联系起来，关联至渐近展开中的$ frac{1}{(2i\tilde{\tau})^{n/2}}$-加权$ frac{n}{2}$-阶项。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典的Chern-Weil形式体系推广至无限维李群（如可逆零阶经典伪微分算子群）？
• RQ2 在零阶伪微分算子的李代数中，标准迹失效时，什么可替代迹？
• RQ3 当曲率形式在标准迹下不闭合时，如何在无限维设定中定义并计算特征类？
• RQ4 在何种几何背景（如伪微分Grassmann流形或环路群）中，非闭合的加权Chern-Weil形式可被重整化为闭形式？
• RQ5 通过超联络构造的加权Chern-Weil形式与一族Dirac算子的Chern示性类之间存在何种精确关系？

主要发现

• 与Bismut超联络相关的第$j$个Chern形式由$\mathrm{str}^{{\rm I\!A}^{2}}({\rm I\!A}^{2j})_{[2j]} = \frac{(-1)^j j!}{(2i\pi)^{n/2}} \left( \int_{{\rm I\!M}/X} \hat{A}({\rm I\!M}/X) \wedge {\rm ch}({\rm I\!\!E}_{{\rm I\!M}/X}) \right)_{[2j]}$给出，将其与族的Chern示性类联系起来。
• 热核$e^{-t{\rm I\!A}^2}$的超迹渐近展开产生一个涉及$\delta_t$-缩放超联络的公式，从而可提取局部不变量。
• 非交换余迹捕捉了加权Chern-Weil形式不闭合的障碍，使得可构造反项以将其重整化为闭形式。
• 在环路群与伪微分Grassmann流形的情形下，非交换余迹的局部性使得可构造反项以恢复闭合性。
• 热核展开中第$j$个项的超迹与Chern形式的$2j$-次分量通过$\left( \int_{{\rm I\!M}/X} {\rm str}(k_{j+n/2}({\rm I\!A}^2)) \right)_{[2j]} = \frac{(4\pi)^{n/2}}{(2i\pi)^{n/2}} \left( \int_{{\rm I\!M}/X} \hat{A} \wedge {\rm ch} \right)_{[2j]}$相关联。
• 通过向朴素加权形式添加余迹修正项，得到重整化的Chern-Weil形式，其为闭微分形式并代表一个良好定义的上同调类。