[论文解读] Chromatic Numbers of Exact Distance Graphs

Jan van den Heuvel, H. A. Kierstead+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 27被引用 23

一句话总结

本文利用广义染色数提出了一种简化证明，用于界定精确距离-p 图 G[♮p] 的色数，表明对于奇数 p，χ(G[♮p]) 受 G 的弱 (2p−1)-染色数的限制；对于偶数 p，χ(G[♮p]) 受 G 的弱 (2p)-染色数与最大度数的乘积限制。主要贡献在于，相较于以往结果，该研究为有界扩展图（包括平面图和 Kt-无小图图）提供了显著改进且更清晰的界。

ABSTRACT

For any graph $G=(V,E)$ and positive integer $p$, the exact distance-$p$ graph $G^{[ atural p]}$ is the graph with vertex set $V$, which has an edge between vertices $x$ and $y$ if and only if $x$ and $y$ have distance $p$ in $G$. For odd $p$, Ne\v{s}et\v{r}il and Ossona de Mendez proved that for any fixed graph class with bounded expansion, the chromatic number of $G^{[ atural p]}$ is bounded by an absolute constant. Using the notion of generalised colouring numbers, we give a much simpler proof for the result of Ne\v{s}et\v{r}il and Ossona de Mendez, which at the same time gives significantly better bounds. In particular, we show that for any graph $G$ and odd positive integer $p$, the chromatic number of $G^{[ atural p]}$ is bounded by the weak $(2p-1)$-colouring number of $G$. For even $p$, we prove that $\chi(G^{[ atural p]})$ is at most the weak $(2p)$-colouring number times the maximum degree. For odd $p$, the existing lower bound on the number of colours needed to colour $G^{[ atural p]}$ when $G$ is planar is improved. Similar lower bounds are given for $K_t$-minor free graphs.

研究动机与目标

• 为具有有界扩展性的图的精确距离-p 图的有界色数提供更简单且更紧致的证明。
• 相较于 Nešetřil 与 Ossona de Mendez 的原始结果，改进 χ(G[♮p]) 在奇数 p 和偶数 p 情况下的上界。
• 建立以广义染色数和最大度数表示的显式色数界。
• 改进平面图与 Kt-无小图图中 χ(G[♮p]) 的下界，尤其针对奇数 p 的情况。
• 解决关于偶数距离下精确距离图色数界及其对结构参数依赖性的开放问题。

提出的方法

• 作者使用弱染色数的概念，具体而言，对奇数 p 使用弱 (2p−1)-染色数，对偶数 p 使用弱 (2p)-染色数，以界定 χ(G[♮p])。
• 他们建立了基于广义染色数的顶点排序与精确距离-p 图结构之间的联系。
• 对于奇数 p，他们证明：任意具有有界弱 (2p−1)-染色数的顶点排序，可导出 G[♮p] 的一种正常染色，其颜色数受该染色数限制。
• 对于偶数 p，他们证明 χ(G[♮p]) ≤ wcol_{2p}(G) × Δ(G)，将色数与染色数及最大度数联系起来。
• 他们利用极值构造方法，推导出平面图与 Kt-无小图图中 χ(G[♮p]) 的改进下界。
• 他们分析特定图族（如外平面图、平面图），并通过构造实例证明界的紧致性，包括在 Godd 中存在色数任意大的图。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有有界扩展性的图，能否以广义染色数的函数形式界定精确距离-p 图 G[♮p] 的色数？
• RQ2 在结构参数（如染色数与最大度数）下，χ(G[♮p]) 在奇数 p 情况下的最优上界是什么？
• RQ3 对于偶数 p，χ(G[♮p]) 的行为如何？能否以染色数与 Δ(G) 的形式界定其上界？
• RQ4 在平面图与 Kt-无小图图中，χ(G[♮p]) 在奇数 p 情况下的最紧致已知下界是什么？
• RQ5 是否存在函数 f，使得对所有平面图 G，都有 χ(Godd) ≤ f(ω(Godd))，其中 Godd 包含所有奇数距离边？

主要发现

• 对任意图 G 和奇数 p，有 χ(G[♮p]) ≤ wcol_{2p−1}(G)，即 G 的弱 (2p−1)-染色数，该界远优于以往结果。
• 对偶数 p，有 χ(G[♮p]) ≤ wcol_{2p}(G) × Δ(G)，建立了以染色数与最大度数表示的新且显式的界。
• 对平面图，有 χ(G[♮3]) ≤ 105，且存在一个平面图满足 χ(G[♮3]) = 7，同时改进了上下界。
• 对外平面图，有 χ(G[♮3]) ≤ 10，且存在一个外平面图满足 χ(G[♮3]) = 5。
• 本文构造出 Kt-无小图图，使得 χ(G[♮3]) ≥ 2(t−2)+1（t ≥ 4），表明色数可随 t 线性增长。
• 作者证明：即使 ω(Godd) 较大，外平面图中 χ(Godd) 仍可任意大，凸显了以团数界定 Godd 色数的挑战。