[论文解读] Class of smooth functions in Dirichlet spaces

Partrick J. Fitzsimmons, Liping Li|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文研究了在何种条件下 $C_c^\infty(E)$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中某区域 $E$ 上正则 Dirichlet 型 $({\mathcal{E}}, {\mathcal{F}})$ 的特殊标准核心，并分析了坐标函数的 Fukushima 分解。研究发现，当鞅部分为标准布朗运动且零能量部分非有界变差时，会涌现出不可数无穷多组与初始条件无关的随机微分方程解。

ABSTRACT

Given a regular Dirichlet form $(\mathcal{E},\mathcal{F})$ on a fixed domain $E$ of $\mathbb{R}^d$, we first indicate that the basic assumption $C_c^\infty(E)\subset \mathcal{F}$ is equivalent to the fact that each coordinate function $f^i(x)=x_i$ locally belongs to $\mathcal{F}$ for $1\leq i\leq d$. Our research starts from these two different viewpoints. On one hand, we shall explore when $C_c^\infty(E)$ is a special standard core of $\mathcal{F}$ and give some useful characterizations. On the other hand, we shall describe the Fukushima's decompositions of $(\mathcal{E},\mathcal{F})$ with respect to the coordinates functions, especially discuss when their martingale part is a standard Brownian motion and what we can say about their zero energy part. Finally, when we put these two kinds of discussions together, an interesting class of stochastic differential equations are raised. They have uncountable solutions that do not depend on the initial condition.

研究动机与目标

• 确定 $C_c^\infty(E)$ 是 $E \subset \mathbb{R}^d$ 上正则 Dirichlet 型 $({\mathcal{E}}, {\mathcal{F}})$ 的特殊标准核心的条件。
• 分析坐标函数 $f^i(x) = x_i$ 关于 Dirichlet 型的 Fukushima 分解，特别是当鞅部分为标准布朗运动时的情形。
• 刻画分解中零能量部分的性质及其变差特性。
• 识别与扩散过程非半鞅性相关的条件。
• 探讨核心条件与分解结构相互作用下涌现的不可数无穷多 SDE 解及其解的性质。

提出的方法

• 建立 $C_c^\infty(E) \subset {\mathcal{F}}$ 与每个坐标函数 $x_i$ 局部属于 ${\mathcal{F}}$ 之间的等价性。
• 利用正则 Dirichlet 型及其关联的马尔可夫过程理论分析 Fukushima 分解：$f(X_t) - f(X_0) = M^{[f]}_t + N^{[f]}_t$。
• 在特定能量与正则性条件下，将鞅部分 $M^{[f]}$ 刻画为标准布朗运动。
• 通过光滑带符号测度及其关联的加法泛函分析零能量部分 $N^{[f]}$。
• 在 $\mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ 上应用部分 Dirichlet 型，研究加法泛函在奇点之外的行为。
• 利用容量估计与准连续性论证，证明某些加法泛函非有界变差，从而表明其非半鞅行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下 $C_c^\infty(E)$ 是正则 Dirichlet 型 $({\mathcal{E}}, {\mathcal{F}})$ 的特殊标准核心？
• RQ2 当坐标函数 $f(x) = x_i$ 的 Fukushima 分解中鞅部分为标准布朗运动时，其成立条件为何？
• RQ3 当 Dirichlet 型正则且 $C_c^\infty(E) \subset {\mathcal{F}}$ 时，分解中的零能量部分具有何种性质？
• RQ4 零能量部分能否非有界变差？这对其关联过程有何影响？
• RQ5 由核心条件与分解结构的相互作用所引发的随机微分方程具有何种形式？其解具有何种性质？

主要发现

• 条件 $C_c^\infty(E) \subset {\mathcal{F}}$ 与每个坐标函数 $x_i$ 局部属于 ${\mathcal{F}}$ 等价。
• 当坐标函数 $f(x) = x_i$ 的 Fukushima 分解中鞅部分为标准布朗运动时，其关联的 Dirichlet 型具有特殊标准核心。
• 在 $\mathbb{R}^3$ 上取 $\gamma > 0$ 的例子中，分解的零能量部分 $N^{[f]}$ 非有界变差，表明过程非半鞅。
• 原点的容量为正：$\text{Cap}(\{0\}) = \frac{\gamma + \gamma c^2}{\gamma - c} > 0$，其中 $c = \gamma - \sqrt{\gamma^2 + 2}$，说明原点非极点。
• $\mathbb{R}^3 \setminus \{0\}$ 上与 $N^{[f^i]}$ 关联的光滑带符号测度 $\nu_i$ 无法延拓为 $\mathbb{R}^3$ 上的光滑测度，因其对满足 $g(0) > 0$ 的准连续函数 $g$ 的积分为无穷。
• 存在一个准连续且严格正的函数 $g$，使得 $\int g(x) \frac{\gamma|x|+1}{|x|} m(dx) < \infty$，由此导出矛盾，从而证明零能量部分非有界变差。