[论文解读] Classes of operators determined by ordinal indices

Kevin Beanland, Ryan M. Causey+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文引入并分析了巴拿赫空间中基于序数索引的算子类，重点研究了博尔甘指数，以量化 $β_p^\xi$ 和 $c_0^\xi$ 拓展模型的非保持性。研究证明，某些类——如基于 $\ell_p$ 和 $c_0$ 的 $\omega^\zeta$-指数所定义的类——构成闭算子理想，并证明弱紧致性指数是一个 $\Pi_1^1$ 序数，从而使得算子类的描述集合论分析成为可能。

ABSTRACT

We introduce and study the Bourgain index of an operator between two Banach spaces. In particular, we study the Bourgain $\ell_p$ and $c_0$ indices of an operator. Several estimates for finite and infinite direct sums are established. We define classes determined by these indices and show that some of these classes form operator ideals. We characterize the ordinals which occur as the index of an operator and establish exactly when the defined classes are closed. We study associated indices for non-preservation of $\ell_p^ξ$ and $c_0^ξ$ spreading models and indices characterizing weak compactness of operators between separable Banach spaces. We also show that some of these classes are operator ideals and discuss closedness and distinctness of these classes.

研究动机与目标

• 为巴拿赫空间之间的算子定义并研究序数索引——特别是博尔甘指数，将该概念从巴拿赫空间推广至算子。
• 刻画作为算子索引出现的序数，并确定相关类为闭集的条件。
• 研究由 $\ell_p^\xi$ 和 $c_0^\xi$ 拓展模型非保持性所定义的类是否构成算子理想。
• 将算子的弱紧致性指数与 $\mathcal{S}_\xi$-弱紧致算子类联系起来，并建立其理想结构。
• 应用描述集合论分析算子类的复杂性，特别是通过标准博雷尔空间上算子类的 $\Pi_1^1$ 序数。

提出的方法

• 使用树和施雷尔族定义算子的序数索引，特别是基本序列 $(e_i)$ 的非保持性索引。
• 应用关于着色和最小树的组合引理，分析算子在求和与直和下的索引行为。
• 将类 $\mathfrak{NP}_p^\zeta$ 和 $\mathfrak{SM}_p^\xi$ 定义为不保持 $\ell_p^\xi$ 或 $c_0^\xi$ 拓展模型的算子集合。
• 证明对于无限序数 $\zeta$，类 $\mathfrak{NP}_1^{\omega^\zeta}$ 和 $\mathfrak{NP}_\infty^\zeta$ 是闭算子理想。
• 在标准空间 $\mathfrak{L}$ 上构造 $\Pi_1^1$ 序数以分析弱紧致性指数 $\textbf{WC}(A,X,Y)$，表明其在 $\mathfrak{WC} \cap \mathfrak{L}$ 上是一个 $\Pi_1^1$ 序数。
• 将算子的斯兹伦克指数约化为 $\mathfrak{A} \cap \mathfrak{L}_1$ 上的 $\Pi_1^1$ 序数，即范数 $\leq 1$ 的阿斯普朗德算子空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些序数 $\zeta$，非保持性索引 $\leq \zeta$ 的算子类构成算子理想？
• RQ2 当算子类不保持任何 $\ell_p^\xi$ 拓展模型时，其为闭算子理想的条件是什么？
• RQ3 算子的弱紧致性指数 $\textbf{WC}(A,X,Y)$ 与 $\mathcal{S}_\xi$-弱紧致算子类之间有何关系？
• RQ4 弱紧致性指数是否可表示为标准博雷尔空间上算子的 $\Pi_1^1$ 序数？
• RQ5 范数 $\leq 1$ 的阿斯普朗德算子类是否为 $\mathfrak{L}_1$ 中的 $\Pi_1^1$ 子集，且其斯兹伦克指数是否为 $\Pi_1^1$ 序数？

主要发现

• 对于每个可数序数 $\zeta$，类 $\mathfrak{NP}_1^{\omega^\zeta}$ 是一个闭算子理想。
• 对于每个无限序数 $\zeta$，类 $\mathfrak{NP}_\infty^\zeta$ 是一个闭算子理想。
• 对于 $1 \leq p \leq \infty$，并集 $\bigcup_{\xi < \omega^\zeta} \mathfrak{SM}_p^\xi$ 构成一个算子理想，其中 $\mathfrak{SM}_p^\xi$ 由不保持任何 $\ell_p^\xi$ 拓展模型的算子组成。
• $\mathfrak{SM}_1^\xi$ 对所有可数序数 $\xi$ 是一个闭算子理想，且 $\mathfrak{SM}_\infty^\xi$ 同样是一个闭算子理想。
• 算子 $A$ 是 $\mathcal{S}_\xi$-弱紧致的，当且仅当 $A$ 是弱紧致的且 $A \in \mathfrak{SM}_1^\xi$，因此 $\mathcal{S}_\xi$-弱紧致算子构成一个闭理想。
• 弱紧致性指数 $\textbf{WC}(A,X,Y)$ 是 $\mathfrak{WC} \cap \mathfrak{L}$ 上的 $\Pi_1^1$ 序数，且存在函数 $\varphi_{\text{WC}}$，使得当 $\textbf{WC}(A,X,Y) \leq \xi$ 且 $\textbf{WC}(B,X,Y) \leq \zeta$ 时，有 $\textbf{WC}(A+B,X,Y) \leq \varphi_{\text{WC}}(\xi,\zeta)$。