[论文解读] Classical and Quantum Complexity of the Sturm-Liouville Eigenvalue Problem

Anargyros Papageorgiou, H. Woźniakowski|ArXiv.org|Feb 9, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 32被引用 8

一句话总结

本文分析了在非负且二阶连续可微的势函数下，对单变量Sturm-Liouville问题的最小特征值进行近似计算的类经典与量子复杂度。研究结果表明，经典确定性和随机设置下分别需要Θ(ε⁻¹/²)和Θ(ε⁻²/⁵)次函数求值，而使用幂查询的量子算法可实现指数级加速，仅需Θ(log ε⁻¹)次查询和O(log² ε⁻¹)次量子操作，从而以极少的量子比特实现高效的特征值近似。

ABSTRACT

We study the approximation of the smallest eigenvalue of a Sturm-Liouville problem in the classical and quantum settings. We consider a univariate Sturm-Liouville eigenvalue problem with a nonnegative function $q$ from the class $C^2([0,1])$ and study the minimal number $n(\e)$ of function evaluations or queries that are necessary to compute an $\e$-approximation of the smallest eigenvalue. We prove that $n(\e)=Θ(\e^{-1/2})$ in the (deterministic) worst case setting, and $n(\e)=Θ(\e^{-2/5})$ in the randomized setting. The quantum setting offers a polynomial speedup with {\it bit} queries and an exponential speedup with {\it power} queries. Bit queries are similar to the oracle calls used in Grover's algorithm appropriately extended to real valued functions. Power queries are used for a number of problems including phase estimation. They are obtained by considering the propagator of the discretized system at a number of different time moments. They allow us to use powers of the unitary matrix $\exp( frac12 { m i}M)$, where $M$ is an $n imes n$ matrix obtained from the standard discretization of the Sturm-Liouville differential operator. The quantum implementation of power queries by a number of elementary quantum gates that is polylog in $n$ is an open issue.

研究动机与目标

• 确定Sturm-Liouville问题最小特征值近似的经典与量子查询复杂度。
• 从函数求值次数和量子查询次数的角度，分析确定性、随机性和量子算法的性能表现。
• 通过使用幂查询和相位估计算法，建立量子算法查询复杂度与量子比特需求的紧致界。
• 推导Sturm-Liouville特征值问题与加权积分问题之间的关联，从而为一类广泛的问题实现对数复杂度。

提出的方法

• 将Sturm-Liouville特征值问题表述为在Dirichlet边界条件下求解微分算子的最小特征值。
• 将微分算子离散化为n×n矩阵M_q，从而通过酉演化exp(½iM_q)实现量子模拟。
• 利用幂查询结合相位估计算法，以高概率估计最小特征值。
• 使用类似于Grover型预言机调用的位查询，用于在量子算法中实现近似函数求值。
• 采用Jaksch和Papageorgiou算法，为相位估计准备初始近似特征向量态。
• 推导特征值问题与加权积分问题之间的联系，从而为一大类问题实现多项式对数复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 近似Sturm-Liouville问题最小特征值的类经典最坏情况复杂度是多少？
• RQ2 随机类经典复杂度与最坏情况设置相比如何？
• RQ3 对于该问题，使用位查询和幂查询可实现的量子查询复杂度是多少？
• RQ4 幂查询能否在该非线性连续问题上实现相对于经典方法的指数级加速？
• RQ5 在量子设置下，实现ε-精度所需的最少量子比特数是多少？

主要发现

• 经典确定性最坏情况复杂度为Θ(ε⁻¹/²)次函数求值。
• 经典随机复杂度为Θ(ε⁻²/⁵)，相较于最坏情况设置展现出多项式加速。
• 使用位查询的量子算法实现多项式加速，需Θ(ε⁻¹/³)次查询即可在概率3/4下达到ε-精度。
• 通过使用幂查询和相位估计算法，问题可仅用Θ(log ε⁻¹)次查询、O(log² ε⁻¹)次量子操作和3/2 log ε⁻¹次量子比特求解。
• 量子比特复杂度的下限约为½ log ε⁻¹，确立了量子比特使用量的根本限制。
• 该问题可约化为加权积分问题，从而为广泛的一类计算问题实现对数复杂度。