[论文解读] Classical conformal blocks and isomonodromic deformations

J. Teschner|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 9被引用 12

一句话总结

本文证明了二维共形场论中维拉索罗共形块的经典极限对应于平坦 SL(2,C)-联络模空间上哈密顿坐标系与复 Fenchel-Nielsen 坐标系之间的一种典范坐标变换的生成函数——即等价于 Garnier 系统背后的等单变分问题的共形场论实现。该研究表明，共形场论对等单变分问题进行了量子化，且在 c→∞ 极限下，经典共形块作为单值性数据的生成函数自然出现。

ABSTRACT

The leading classical asymptotics of Virasoro conformal blocks on the Riemann sphere with n generic and n-3 'heavy' degenerate field insertions can be described in terms of the geometry of Garnier system describing the monodromy preserving deformations of second order Fuchsian differential equations on an n-punctured sphere. This allows us to characterise the leading classical asymptotics of Virasoro conformal blocks completely, and to clarify in which sense conformal field theory represents a quantisation of the isomonodromic deformation problem.

研究动机与目标

• 以等单变分问题为框架，刻画 Virasoro 共形块在 c→∞ 极限下的经典极限。
• 将经典共形块识别为平坦联络模空间上哈密顿坐标与复 Fenchel-Nielsen 坐标之间典范坐标变换的生成函数。
• 阐明共形场论作为等单变分问题之量子化实现的角色。
• 通过单值性数据，精确建立共形场论半经典极限与 Garnier 系统几何结构之间的对应关系。

提出的方法

• 通过具有正则奇点的二阶常微分方程的等单变分问题推导 Virasoro 共形块的经典极限。
• 将 Garnier 系统用作等单变分问题的哈密顿形式，其中坐标 (u,v) 为达布坐标。
• 引入参数化单值性数据的复 Fenchel-Nielsen 坐标 (l,k)，其来源于黎曼曲面的裤分解。
• 证明经典共形块生成函数 W(l,z) 等于全纯函数 Wu(z,¯z) 的实部，且该实部满足 ∂zr Re(Wu) = Hr。
• 建立 Liouville 作用量泛函 SL(z,¯z) 与 Re(Wu) 之间相差一个常数的关系，从而在共形场论与 Teichmüller 理论之间建立直接联系。
• 通过哈密顿量的 b-形变构造 Garnier 系统的量子形变，证明由此导出的方程重现了 Virasoro 共形块的零载体消去方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 Virasoro 共形块的经典极限如何与等单变分问题相关联？
• RQ2 在平坦联络模空间的背景下，经典共形块作为生成函数的几何意义是什么？
• RQ3 哈密顿坐标与复 Fenchel-Nielsen 坐标在单值性数据模空间上如何关联？
• RQ4 Liouville 作用量在二维共形场论的半经典极限中扮演何种角色？
• RQ5 共形场论如何作为经典 Garnier 系统的量子化实现而出现？

主要发现

• 经典 Virasoro 共形块被识别为平坦 SL(2,C)-联络模空间上哈密顿坐标 (u,v) 与复 Fenchel-Nielsen 坐标 (l,k) 之间典范坐标变换的生成函数。
• 生成坐标变换的函数 W(l,z) 满足 ∂zr Re(Wu(z,¯z)) = Hr，其中 Hr 为 Garnier 系统的哈密顿量。
• Liouville 作用量泛函 SL(z,¯z) 与 Re(Wu(z,¯z)) 之间相差一个常数，从而在共形场论与 Teichmüller 理论之间建立了直接联系。
• 经典共形块被证明是 Fenchel-Nielsen 表象中波函数的生成函数，且波函数 Φ(l) 通过类傅里叶变换与共形块相关联。
• 通过 b-形变哈密顿量构造的 Garnier 系统的量子形变，重现了 Virasoro 共形块的零载体消去方程，从而确认共形场论对经典等单变分问题实现了量子化。
• 经典极限下的 Verlinde 环圈算符被证明完成了哈密顿表象与 Fenchel-Nielsen 表象之间的对偶性，从而完整刻画了经典共形块作为生成函数的性质。