[论文解读] Classical deformations of local surfaces and their moduli of instantons

Severin Barmeier, Elizabeth Gasparim|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2016

Geometry and complex manifolds被引用 6

一句话总结

本文研究了非紧曲面 $Z_k = \operatorname{Tot}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-k))$ 的半普遍形变，并证明任意非平凡形变 $\mathcal{Z}_k$ 均为仿射的。与原始 $Z_k$ 上瞬子模空间的拟射影性相对比，关键结果是：在 $\mathcal{Z}_k$ 上，瞬子模空间为空，表明在形变几何中存在根本性的障碍，导致瞬子解无法存在。

ABSTRACT

We describe the semiuniversal deformation spaces for the noncompact surfaces $Z_k := \operatorname{Tot} (\mathcal O_{\mathbb P^1} (-k))$ and prove that any nontrivial deformation $\mathcal Z_k$ of $Z_k$ is affine. It is known that the moduli spaces of instantons of charge $j$ on $Z_k$ are quasi-projective varieties of dimension $2j-k-2$. In contrast, our results imply that the moduli spaces of instantons on any nontrivial deformation $\mathcal Z_k$ are empty.

研究动机与目标

• 描述非紧曲面 $Z_k = \operatorname{Tot}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-k))$ 的半普遍形变空间。
• 确定 $Z_k$ 的任意非平凡形变 $\mathcal{Z}_k$ 的几何性质。
• 研究在形变曲面 $\mathcal{Z}_k$ 上瞬子模空间的存在性与结构。
• 对比 $Z_k$ 与其中非平凡形变 $\mathcal{Z}_k$ 上瞬子模空间的性质。

提出的方法

• 通过分析 $Z_k$ 的形式形变理论，构造其半普遍形变空间。
• 利用上同调与几何论证，证明 $Z_k$ 的任意非平凡形变 $\mathcal{Z}_k$ 均为仿射。
• 以已知结果为参考点，即 $Z_k$ 上瞬子模空间的维数为 $2j - k - 2$（电荷为 $j$ 时），为拟射影簇。
• 利用 $\mathcal{Z}_k$ 的仿射性，推导出在 $\mathcal{Z}_k$ 上，瞬子模空间必为空，原因在于仿射代数簇上不存在具有瞬子性质的非平凡全纯丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 曲面 $Z_k = \operatorname{Tot}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-k))$ 的半普遍形变空间具有何种结构？
• RQ2 $Z_k$ 的任意非平凡形变 $\mathcal{Z}_k$ 是否均为仿射？
• RQ3 在 $\mathcal{Z}_k$ 上的瞬子模空间与在 $Z_k$ 上的瞬子模空间有何异同？
• RQ4 为何在非平凡形变 $\mathcal{Z}_k$ 上瞬子模空间消失，尽管在 $Z_k$ 上它们是存在的？

主要发现

• 明确描述了 $Z_k$ 的半普遍形变空间，为形变提供了完整的局部模空间。
• 证明了 $Z_k$ 的任意非平凡形变 $\mathcal{Z}_k$ 均为仿射。
• 在 $Z_k$ 上，电荷为 $j$ 的瞬子模空间是维数为 $2j - k - 2$ 的拟射影簇，此结果为已知。
• 在任意非平凡形变 $\mathcal{Z}_k$ 上，瞬子模空间为空，原因在于 $\mathcal{Z}_k$ 的仿射性，以及由此导致的非平凡瞬子解的障碍。