[论文解读] Wall crossing for K-moduli spaces of plane curves

Kenneth Ascher, Kristin DeVleming+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 90被引用 19

一句话总结

本文构建了对数法诺对 $(\mathbb{P}^2, cD)$ 的 K-模空间，其中 $D$ 是次数 $d \geq 4$ 的平面曲线，并建立了随着系数 $c$ 变化时的墙交叉框架。结果表明，当 $c$ 较小时，K-模空间同构于 GIT 模空间，首次墙交叉对应于加权 Kirwan 型的爆破，且对次数 4、5 和 6 的情况给出了完整的墙交叉描述，将最终的 K-模空间与 Hacking 的紧化以及 K3 曲面模空间联系起来。

ABSTRACT

We construct proper good moduli spaces parametrizing K-polystable $\mathbb{Q}$-Gorenstein smoothable log Fano pairs $(X, cD)$, where $X$ is a Fano variety and $D$ is a rational multiple of the anti-canonical divisor. We then establish a wall-crossing framework of these K-moduli spaces as $c$ varies. The main application in this paper is the case of plane curves of degree $d \geq 4$ as boundary divisors of $\mathbb{P}^2$. In this case, we show that when the coefficient $c$ is small, the K-moduli space of these pairs is isomorphic to the GIT moduli space. We then show that the first wall crossing of these K-moduli spaces are weighted blow-ups of Kirwan type. We also describe all wall crossings for degree 4,5,6, and relate the final K-moduli spaces to Hacking's compactification and the moduli of K3 surfaces.

研究动机与目标

• 构建参数化 K-多项稳定 $\mathbb{Q}$-Gorenstein 可光滑化对数法诺对 $(X, cD)$ 的合适良好模空间，其中 $X$ 是法诺簇，$D$ 是反 canonical 除子的有理倍数。
• 为这些 K-模空间建立随系数 $c$ 变化的墙交叉框架，特别关注次数 $d \geq 4$ 的平面曲线情形。
• 将 K-模空间与经典紧化空间进行比较：GIT 商 $\overline{P}_d^{\mathrm{GIT}}$ 和 Hacking 的稳定对紧化 $\overline{P}_d^{\mathrm{H}}$。
• 明确描述次数 4、5 和 6 的所有墙交叉，并将最终的 K-模空间与 Hacking 的紧化以及 K3 曲面模空间联系起来。

提出的方法

• 构建一个有限型的约化阿廷堆栈 $\mathcal{K}\mathcal{M}_{\chi_0,r,c}$，用于参数化具有固定 Hilbert 多项式且满足 $D \sim_\mathbb{Q} -rK_X$ 的 K-半稳定 $\mathbb{Q}$-Gorenstein 可光滑化对数法诺对 $(X, cD)$。
• 应用 K-稳定性理论及对数光滑 Yau-Tian-Donaldson 猜想的解，以确保存在一个合适的良好模空间 $KM_{\chi_0,r,c}$。
• 利用通过不变量 $S_{(X,cD)}(v)$ 和对数离差 $A_{(X,cD)}(v)$ 的 K-稳定性的赋值准则，在奇点处检验 K-半稳定性。
• 采用循环商映射 $\pi: \mathbb{A}^2 \to X$ 计算体积 $\mathrm{vol}_X(\mathcal{O}(1) - tv)$，并推导出中心在轨道奇点处的赋值 $v$ 的稳定性阈值 $S_{(X,cD)}(v)$。
• 通过识别 K-(多)稳定性条件发生变化的关键 $c$-值 $c_i$ 来分析墙交叉，其转变被建模为加权爆破。
• 依赖于在加权射影面 $\mathbb{P}(1,1,4)$、$\mathbb{P}(1,4,25)$ 等上特定曲线奇点的对数极小阈值和体积函数的显式计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 当系数 $c$ 变化时，对数法诺对 $(\mathbb{P}^2, cD)$（其中 $D$ 是次数 $d \geq 4$ 的光滑平面曲线）的 K-模空间如何变化？
• RQ2 对于较小的 $c$，K-模空间与经典 GIT 模空间 $\overline{P}_d^{\mathrm{GIT}}$ 之间存在何种关系？
• RQ3 随着 $c$ 增大，K-模空间的首次墙交叉具有何种性质，它如何与 Kirwan 型爆破相关？
• RQ4 对于次数 4、5 和 6，最终的 K-模空间如何与 Hacking 的紧化以及 K3 曲面模空间相关联？
• RQ5 在特定 $c$ 值下，哪些奇异曲面和曲线会出现在 K-模空间堆栈中，它们在何种条件下是 K-稳定的？

主要发现

• 当 $c < \frac{3}{d}$ 时，$(\mathbb{P}^2, cD)$ 的 K-模空间同构于 GIT 模空间 $\overline{P}_d^{\mathrm{GIT}}$，为小 $c$ 情形下的 K-稳定性与 GIT 之间建立了直接联系。
• 对于次数 $d \geq 4$ 的平面曲线，K-模空间的首次墙交叉是 Kirwan型的加权爆破，对应于在临界 $c$-值处 K-稳定性的变化。
• 对于次数 4，最终的 K-模空间同构于 Hacking 的紧化 $\overline{P}_4^{\mathrm{H}}$，且度数为 2 的 K3 曲面模空间作为最终墙的一个分支出现。
• 对于次数 5，K-模空间经历多次墙交叉，最终空间同构于 Hacking 的紧化 $\overline{P}_5^{\mathrm{H}}$，且曲面 $\mathbb{P}(1,4,25)$ 仅在 $c \geq \frac{63}{115}$ 时出现。
• 对于次数 6，最终的 K-模空间同构于 Hacking 的紧化 $\overline{P}_6^{\mathrm{H}}$，且曲面 $\mathbb{P}(1,1,4)$ 仅在 $c \geq \frac{1}{3}$ 时出现。
• 曲面 $\mathbb{P}(1,4,25)$ 在 $c < \frac{3}{7}$ 时永远不会出现在 K-模空间堆栈中，且其上的曲线在 $c < \frac{3}{5}$ 时为 K-不稳定，K-半稳定性的具体下界取决于曲线的方程。