[论文解读] Classical Field theory on Lie algebroids: multisymplectic formalism

Eduardo Martı́nez|ArXiv.org|Nov 16, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 17

一句话总结

本文通过多辛形式将经典场论推广至李代数丛，将喷丛和拉格朗日/哈密顿结构推广至李代数丛上的场论。主要贡献是通过一个典范多辛形式，统一地几何化场方程，该形式可恢复已知情形（如欧拉-庞加莱方程和拉格朗日-庞加莱方程）作为特例，并为对称系统提供了自洽的约化理论。

ABSTRACT

The jet formalism for Classical Field theories is extended to the setting of Lie algebroids. We define the analog of the concept of jet of a section of a bundle and we study some of the geometric structures of the jet manifold. When a Lagrangian function is given, we find the equations of motion in terms of a Cartan form canonically associated to the Lagrangian. The Hamiltonian formalism is also extended to this setting and we find the relation between the solutions of both formalism. When the first Lie algebroid is a tangent bundle we give a variational description of the equations of motion. In addition to the standard case, our formalism includes as particular examples the case of systems with symmetry (covariant Euler-Poincare and Lagrange Poincare cases), variational problems for holomorphic maps, Sigma models or Chern-Simons theories. One of the advantages of our theory is that it is based in the existence of a multisymplectic form on a Lie algebroid.

研究动机与目标

• 将经典场论的多辛形式推广至李代数丛的设定。
• 为李代数丛态射的截面定义几何喷丛形式，类似于标准场论中的喷丛。
• 通过喷丛上的典范陈类形式与多辛结构，推导欧拉-拉格朗日方程。
• 在李代数丛上对超正则拉格朗日量建立拉格朗日与哈密顿形式之间的等价性。
• 当基李代数丛为切丛时，提供变分形式化，确保场方程的内在推导。

提出的方法

• 引入李代数丛态射 $\pi: E \to F$ 的喷丛 $\mathcal{J}\pi$，其继承了仿射丛结构及典范几何对象。
• 在 $\mathcal{J}\pi$ 的仿射对偶上定义一个典范多辛形式 $\Omega$，推广标准场论中的多辛结构。
• 将场方程表示为 $\Psi^* i_X \Omega = 0$，其中 $\Psi$ 为截面，$\Omega$ 为多辛形式，$i_X$ 表示与竖直向量场的内乘。
• 从给定的拉格朗日量 $L$ 在 $\mathcal{J}\pi$ 上构造一个陈类形式 $\Theta_L$，通过条件 $d\Theta_L = 0$ 导出欧拉-拉格朗日方程。
• 在对偶喷丛上构建哈密顿形式，证明在超正则性条件下与拉格朗日形式等价。
• 提供一个统一形式，将拉格朗日与哈密顿结构整合于李代数丛框架内。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典场论的标准多辛形式推广至定义在李代数丛而非切丛或纤维丛喷丛上的场论？
• RQ2 李代数丛态射的喷丛应具有何种适当的几何结构？其如何支持变分与多辛形式化？
• RQ3 能否将对称场论（如欧拉-庞加莱、拉格朗日-庞加莱）的欧拉-拉格朗日方程作为单一统一多辛形式在李代数丛上的特例推导出来？
• RQ4 在何种条件下，该推广设定下的哈密顿形式与拉格朗日形式等价，特别是对超正则拉格朗日量？
• RQ5 该形式化如何促进对称场论的约化？多辛结构在此类约化中起什么作用？

主要发现

• 李代数丛态射 $\pi: E \to F$ 的喷丛 $\mathcal{J}\pi$ 是一个仿射丛，支持类似于标准喷丛理论中的典范几何结构。
• 在 $\mathcal{J\pi}$ 的仿射对偶上存在一个典范多辛形式 $\Omega$，支持场方程的自洽多辛形式化。
• 欧拉-拉格朗日方程由与拉格朗日量 $L$ 相关的陈类形式 $\Theta_L$ 导出，其解满足 $d\Theta_L = 0$。
• 当基李代数丛为切丛时，该形式化具有变分描述，场方程自然源自作用泛函的变分。
• 该形式化可恢复已知方程，如欧拉-庞加莱方程与拉格朗日-庞加莱方程，包括主丛上的联络与全纯映射的情形。
• 构建了哈密顿形式，并在超正则性条件下证明其与拉格朗日形式等价，且统一形式同时整合了两种方法。