[论文解读] Covariant Hamiltonian formalism for the calculus of variations with several variables

Hélein, Frédéric, Joseph Kouneiher|ArXiv.org|Nov 20, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用 18

一句话总结

本文基於 Lepage 的幾何框架，為具有多個變數的經典場論發展了一種協變哈密頓形式，提供了相對論一致性上優於 de Donder–Weyl 方法的替代方案。該理論在 Lepage 理論中建立了處理退化拉格朗日量而無奇點的勒壤得對應關係，並證明了兩種不同定義的可觀測 (n−1)-形式——基於類泊松括號與基於哈密頓時間演化的定義——僅在 Lepage 形式中一致，進而於相對論設定下統一了運動學與動力學可觀測量。

ABSTRACT

The main purpose in the present paper is to build a Hamiltonian theory for fields which is consistent with the principles of relativity. For this we consider detailed geometric pictures of Lepage theories in the spirit of Dedecker and try to stress out the interplay between the Lepage-Dedecker (LP) description and the (more usual) de Donder-Weyl (dDW) one. For instance the Legendre transform in the dDW approach is replaced by a Legendre correspondence in the LP theory, while ignoring singularities whenever the Lagrangian is degenerate. Moreover we show that there exist two different definitions of the observable (n-1)-forms which allows one to construct observable functionals by integration (which correspond to two different points of view: generalizing the law {p,q} = 1 or the law dF\dt = {H,F}), oddly enough we prove that these two definitions coincides only in the LP situation. Finally other contributions concerning this subject and examples are also given.

研究动机与目标

• 發展一種相對論一致性之哈密頓形式，適用於具有多個變數的經典場論，超越 de Donder–Weyl 方法的限制。
• 比較 Lepage–Dedecker 與 de Donder–Weyl 形式，強調其在處理退化拉格朗日量與幾何結構上的優勢。
• 釐清兩種可觀測 (n−1)-形式定義之差異與一致條件：一種基於類泊松括號 {p,q}=1，另一種基於哈密頓時間演化 dF/dt={H,F}。
• 建立場論中運動學與動力學可觀測量的統一框架，特別是在規範對稱性存在之情形。
• 透過將相空間擴展以包含規範勢 A_μ，展示規範不變理論中動力學可觀測 (n−1)-形式的構造。

提出的方法

• 運用 Lepage 對嵌入於 (n+k)-維流形 N 中之 n 維子流形上變分問題的幾何表述，採用 Grassmann 緩衝 Gr^n N 與 n-形式 bundle Λ^n T*N。
• 在 Lepage 理論中引入勒壤得對應關係，作為標準勒壤得轉換之替代，避免退化拉格朗日量中的奇點。
• 定義兩類不同的可觀測 (n−1)-形式：一類基於類泊松括號條件，另一類基於哈密頓演化方程 dF/dt = {H,F}。
• 利用 Poincaré–Cartan n-形式 θ 及其外微分 Ω = dθ 建構多辛結構，其中 θ = eω + p^μ du ∧ ω_μ。
• 將相空間擴展以包含規範勢 A_μ 及其共軛動量 p^{μν}，引入修正之哈密頓量與多辛形式 Ω_1，以容納規範不變性。
• 透過 dF = −ξ_F ⌟ Ω 與 dH(ξ_F) = 0 的條件推導出形式 F 為動力學可觀測量之要求，確保與哈密頓演化的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lepage–Dedecker 形式與 de Donder–Weyl 方法在幾何廣泛性與退化拉格朗日量適用性方面有何比較？
• RQ2 基於泊松括號與時間演化的兩種可觀測 (n−1)-形式定義在何種條件下會一致？
• RQ3 是否可為規範理論構造動力學可觀測 (n−1)-形式？包含規範場如何影響可觀測結構？
• RQ4 Lepage 理論中勒壤得對應關係之角色為何？其如何在退化情形下推廣標準勒壤得轉換？
• RQ5 包含規範勢的擴展相空間，相較於最小形式，如何允許更廣泛的動力學可觀測量類別？

主要发现

• 兩種可觀測 (n−1)-形式之定義——基於泊松括號 {p,q}=1 者與基於時間演化法 dF/dt={H,F} 者——僅在 Lepage 形式中一致，而在 de Donder–Weyl 框架中不一致。
• 在 Lepage 形式中，勒壤得對應關係取代標準勒壤得轉換，自然處理退化拉格朗日量而無奇點。
• 對於二次勢 V(|ϕ|²/2) = m²|ϕ|²/2，動力學可觀測 (n−1)-形式 F₀ 包含涉及 Klein–Gordon 方程 LU + m²U = 0 之任意解 Uᵃ 的項。
• 當勢能非二次時，僅 U(1) 全局對稱性流為動力學可觀測量：F₀ = λ(p^μ₁ϕ² − p^μ₂ϕ¹)ω_μ。
• 透過引入規範勢 A_μ 及其共軛動量 p^{μν}，形式允許更廣泛的動力學可觀測量，例如 F₁ = ψ(x)(p^μ₁ϕ² − p^μ₂ϕ¹)ω_μ − ½ p^{μν} dψ ∧ ω_{μν}，其滿足 dH(ξ_F) = 0。
• 在包含規範場之情形下，系統容許以光滑函數 ψ(x) 為係數之動力學可觀測量，解決了最小形式中非動力學形式之問題。