[论文解读] Classification and Description of Bosonic Symmetry Protected Topological Phases with semiclassical Nonlinear Sigma models

Zhen Bi, Alex Rasmussen+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2013

Algebraic structures and combinatorial models被引用 5

一句话总结

本文提出了一套统一的半经典非线性σ模型（NLSM）框架，用于在所有空间维度下对规范对称保护的拓扑（SPT）相进行分类和描述。该研究证明，无论对称性类型如何，所有此类SPT相均可通过(d+1)维时空中的O(d+2) NLSM加以描述，且该模型包含一个拓扑θ项，其分类结果与群上同调完全一致，同时能够实现对边界物理和缺陷结构的显式分析。

ABSTRACT

In this paper we systematically classify and describe bosonic symmetry protected topological (SPT) phases in all physical spatial dimensions using semiclassical nonlinear Sigma model (NLSM) field theories. All the SPT phases on a $d-$dimensional lattice discussed in this paper can be described by the same NLSM, which is an O(d+2) NLSM in $(d+1)-$dimensional space-time, with a topological $Θ-$term. The field in the NLSM is a semiclassical Landau order parameter with a unit length constraint. The classification of SPT phases discussed in this paper based on their NLSMs is consistent with the more mathematical classification based on group cohomology. Besides the classification, the formalism used in this paper also allows us to explicitly discuss the physics at the boundary of the SPT phases, and it reveals the relation between SPT phases with different symmetries. For example, it gives many of these SPT states a natural "decorated defect" construction.

研究动机与目标

• 系统地对所有物理空间维度下具有各种连续与离散对称性的自旋液体SPT相进行分类。
• 利用半经典的非线性σ模型（NLSM）建立所有此类SPT相的统一场论描述。
• 将基于NLSM的场论分类方法与SPT相的数学群上同调分类方法相联系。
• 为SPT相中的边界态和对称性增强的缺陷结构提供明确的物理洞察。

提出的方法

• 本文采用(d+1)维时空中的O(d+2)非线性σ模型作为d维SPT相的通用场论。
• NLSM作用量中包含一个拓扑θ项，用于区分不同的SPT相，其中θ值决定了拓扑不变量。
• 序参量场被约束为单位长度，代表一个半经典的朗道序参量，其对称性变换通过场的变换规则编码。
• 通过分析NLSM场的对称性变换及其对应的瞬子数，推导出分类结果，瞬子数对应于拓扑不变量。
• 该框架可通过将具有不同对称性作用的根相与缺陷结合，实现SPT态的“装饰缺陷”构造。
• 通过分析NLSM场在完整对称群作用下的变换性质，该方法可推广至包含时间反演和规范对称性的多对称性系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否一个单一的NLSM框架能够描述所有空间维度下以及广泛对称群类型的自旋液体SPT相？
• RQ2 在O(d+2) NLSM作用量中引入拓扑θ项，如何捕捉SPT相的独立拓扑不变量？
• RQ3 基于NLSM形式主义，SPT相中边界态的物理意义是什么？
• RQ4 NLSM框架如何自然实现SPT态的“装饰缺陷”构造？
• RQ5 NLSM分类是否与SPT相的群上同调分类等价？

主要发现

• 所有研究的自旋液体SPT相——包括Z2、Z2×Z2、U(1)、SO(3)及其时间反演扩展——均可通过(d+1)维时空中的O(d+2) NLSM与θ项统一描述。
• 基于NLSM形式主义的分类结果与SPT相的群上同调分类完全一致，验证了数学与场论方法的一致性。
• NLSM框架使边界物理的显式分析成为可能，揭示了边界态可能因自发对称性破缺或拓扑序而出现无能隙或简并。
• 该形式主义自然实现了“装饰缺陷”构造，即通过组合具有不同对称性作用的简单根相，可构建复杂的SPT相。
• 对于Z2×Z2×Z2对称性，分类结果为：1d: (Z2)3，2d: (Z2)7，3d: (Z2)8，确认了相空间的拓扑结构。
• NLSM方法可扩展以包含如反演对称性等晶格对称性，方法是要求序参量在这些对称性下非平凡变换。