[论文解读] Classification and threshold dynamics of stochastic reaction networks

Carsten Wiuf, Chuang Xu|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2020

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文对一维随机反应网络（SRNs）进行了完整的分类与阈值分析，该网络被建模为连续时间马尔可夫链（CTMC）。基于四个关键参数，建立了可检查的精确判据，用于判断系统是否发生爆炸、常返性、遍历性以及平稳或拟平稳分布的尾部行为。研究证明，所有弱可逆的一维质量作用SRNs均为正常返，并具有类似CMP的平稳分布，从而在一维情形下证实了正正常返性猜想。

ABSTRACT

Stochastic reaction networks (SRNs) provide models of many real-world networks. Examples include networks in epidemiology, pharmacology, genetics, ecology, chemistry, and social sciences. Here, we model stochastic reaction networks by continuous time Markov chains (CTMCs) and pay special attention to one-dimensional mass-action SRNs (1-d stoichiometric subspace). We classify all states of the underlying CTMC of 1-d SRNs. In terms of (up to) four parameters, we provide sharp checkable criteria for various dynamical properties (including explosivity, recurrence, ergodicity, and the tail asymptotics of stationary or quasi-stationary distributions) of SRNs in the sense of their underlying CTMCs. As a result, we prove that all 1-d endotactic networks are non-explosive, and positive recurrent with an ergodic stationary distribution with Conley-Maxwell-Poisson (CMP)-like tail, provided the state space of the associated CTMCs consists of closed communicating classes. In particular, we prove the recently proposed positive recurrence conjecture in one dimension: Weakly reversible mass-action SRNs with 1-d stoichiometric subspaces are positive recurrent. The proofs of the main results rely on our recent work on CTMCs with polynomial transition rate functions.

研究动机与目标

• 对具有质量作用动力学的一维随机反应网络（SRNs）中的所有通信类进行分类。
• 推导一维SRNs中爆炸性、常返性、遍历性等动力学性质的精确、可检查判据。
• 解决一维弱可逆质量作用SRNs的正正常返性猜想。
• 表征一维SRNs中平稳分布与拟平稳分布的尾部渐近行为。
• 证明所有内向一维SRNs均为非爆炸性且正正常返，且具有CMP型尾部行为。

提出的方法

• 将一维SRNs建模为具有多项式转移率函数的连续时间马尔可夫链（CTMC）。
• 引入四个关键参数——R、α、β、γ——这些参数由反应化学计量与速率常数导出，用于表征系统动力学。
• 应用最近关于具有多项式速率的CTMC的研究成果，推导出非爆炸性与正正常返性的必要与充分条件。
• 使用几何与代数技术对通信类进行分类，并分析状态空间的结构。
• 采用康利-麦克斯韦-泊松（CMP）分布作为尾部行为的参考，将其与平稳分布和拟平稳分布相联系。
• 应用扫除测试与面分析，以验证反应网络的内向性与弱可逆性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有质量作用动力学的一维随机反应网络中，完整的通信类结构是什么？
• RQ2 在何种参数条件下，一维SRN是非爆炸性、常返性或遍历性的？
• RQ3 所有弱可逆的一维质量作用SRNs是否均表现出正正常返性，并具有遍历的平稳分布？
• RQ4 一维SRNs中平稳分布与拟平稳分布的尾部行为如何？其与CMP分布有何关联？
• RQ5 所有内向一维SRNs是否均为非爆炸性且正正常返？

主要发现

• 所有一维弱可逆质量作用SRNs均为正正常返，证实了该维度下的正正常返性猜想。
• 所有一维内向SRNs均为非爆炸性，并具有唯一的、遍历的平稳分布，其尾部衰减行为类似CMP分布。
• 一维SRNs的平稳分布与拟平稳分布表现出尾部行为的三重性：超指数衰减（类似CMP）、指数衰减（几何分布）或亚指数衰减（幂律）。
• 基于四个参数，推导出非爆炸性的必要与充分条件，提供了精确的阈值判据。
• 对于R=1且α=0的一维SRNs，系统退化为单个状态{0}，无正向反应，此时T={0}且P=∅。
• 一维SRNs的平稳分布尾部衰减行为与CMP分布一致，当且仅当系统为本质且内向时成立，且尾部行为完全由四个参数决定。