[论文解读] Classification of Distributed Binary Labeling Problems

Alkida Balliu, Sebastian Brandt+5 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 29被引用 2

一句话总结

本文對樹中二元標籤問題的確定性分佈式時間複雜度提供了完整的分類，顯示所有此類問題均屬於四個類別之一：O(1)、Θ(log n)、Θ(n)，或不可解。作者提出了一種實用的決策程序，可確定任何給定二元標籤問題的複雜度類別與最佳演算法，並證明不存在複雜度為Θ(log* n)的二元標籤問題，這表示像最大匹配之類的問題在邊標籤形式中至少需要三個標籤。

ABSTRACT

We present a complete classification of the deterministic distributed time complexity for a family of graph problems: binary labeling problems in trees. These are locally checkable problems that can be encoded with an alphabet of size two in the edge labeling formalism. Examples of binary labeling problems include sinkless orientation, sinkless and sourceless orientation, 2-vertex coloring, perfect matching, and the task of coloring edges red and blue such that all nodes are incident to at least one red and at least one blue edge. More generally, we can encode e.g. any cardinality constraints on indegrees and outdegrees. We study the deterministic time complexity of solving a given binary labeling problem in trees, in the usual LOCAL model of distributed computing. We show that the complexity of any such problem is in one of the following classes: $O(1)$, $Θ(\log n)$, $Θ(n)$, or unsolvable. In particular, a problem that can be represented in the binary labeling formalism cannot have time complexity $Θ(\log^* n)$, and hence we know that e.g. any encoding of maximal matchings has to use at least three labels (which is tight). Furthermore, given the description of any binary labeling problem, we can easily determine in which of the four classes it is and what is an asymptotically optimal algorithm for solving it. Hence the distributed time complexity of binary labeling problems is decidable, not only in principle, but also in practice: there is a simple and efficient algorithm that takes the description of a binary labeling problem and outputs its distributed time complexity.

研究动机与目标

• 對樹中所有二元標籤問題的確定性分佈式時間複雜度進行分類。
• 判斷此類問題是否可能具有如Θ(log* n)之類的中間複雜度，這類複雜度在其他分佈式問題中常見。
• 開發一種實用且高效的辦法，以判斷任何給定二元標籤問題的複雜度類別，並構造最佳演算法。
• 為理解分佈式計算中回合消除固定點與下界技術提供理論基礎。

提出的方法

• 在 LOCAL 模型中，使用兩字元邊標籤形式形式化二元標籤問題。
• 基於標籤約束的結構特性，定義一種機械式的模式匹配程序，將問題分類至四個複雜度類別之一。
• 使用回合消除與不可區分性論證，證明非平凡問題的 Ω(log n) 下界。
• 透過樹約束的結構分析，構造 O(1) 與 Θ(n) 複雜度類別的明確演算法。
• 證明需要全局協調的問題（Θ(n)）在標籤規則中具有特定的不平衡或連通性約束。
• 顯示無解問題是其約束在整體上不一致的問題，例如要求所有節點的入度與出度均為零的樹。

实验结果

研究问题

• RQ1 樹中的二元標籤問題是否可能具有嚴格介於 O(1) 與 Θ(log n) 之間的確定性時間複雜度，例如 Θ(log* n)？
• RQ2 任何二元標籤問題的分佈式時間複雜度在實務上是否可判定？若是，如何判定？
• RQ3 為何像最大匹配之類的問題至少需要三個標籤？其背後的結構性特徵為何？
• RQ4 在回合消除框架中，除了無源定向之外，是否存在新的非平凡固定點？
• RQ5 此分類是否可延伸至隨機化演算法？可能出現哪些複雜度類別？

主要发现

• 所有樹中確定性二元標籤問題的時間複雜度均屬於四個類別之一：O(1)、Θ(log n)、Θ(n)，或不可解。
• 不存在複雜度為 Θ(log* n) 的二元標籤問題，這解釋了為何最大匹配——需要 Θ(log* n) 輪——在邊標籤形式中至少需要三個標籤。
• 本文提供了一種簡單且機械化的程序，可根據其約束結構，將任何二元標籤問題分類至四個複雜度類別之一。
• 針對任何給定問題，該方法可輸出時間複雜度漸近最佳的演算法，使此類問題的複雜度在實務上可判定。
• 分類結果揭示了回合消除框架中的新非平凡固定點，擴展了其在下界證明中的理論應用價值。
• 結果顯示，Ω(log n) 下界可透過回合消除直接證明於一大類問題，不僅限於從無源定向問題的歸約。