[论文解读] Classification of the Z2Z4-linear Hadamard codes and their automorphism groups

Denis S. Krotov, Mercè Villanueva|Dipòsit Digital de Documents de la UAB (Universitat Autònoma de Barcelona)|Aug 5, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文对长度为 $2^t$ 的 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-线性 Hadamard 码进行分类，证明所有 $\alpha=0$ 的此类码均与 $\alpha\neq0$ 的码等价，从而将非等价码的数量减少至 $\lfloor t/2 \rfloor$。此外，本文还计算了底层 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-加法码的单式自同构群阶，以及相应 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-线性码的置换自同构群阶。

ABSTRACT

A $Z_2Z_4$-linear Hadamard code of length $α+2β=2^t$ is a binary Hadamard code which is the Gray map image of a $Z_2Z_4$-additive code with $α$ binary coordinates and $β$ quaternary coordinates. It is known that there are exactly $[(t-1)/2]$ and $[t/2]$ nonequivalent $Z_2Z_4$-linear Hadamard codes of length $2^t$, with $α=0$ and $α ot=0$, respectively, for all $t\geq 3$. In this paper, it is shown that each $Z_2Z_4$-linear Hadamard code with $α=0$ is equivalent to a $Z_2Z_4$-linear Hadamard code with $α ot=0$; so there are only $[t/2]$ nonequivalent $Z_2Z_4$-linear Hadamard codes of length $2^t$. Moreover, the order of the monomial automorphism group for the $Z_2Z_4$-additive Hadamard codes and the permutation automorphism group of the corresponding $Z_2Z_4$-linear Hadamard codes are given.

研究动机与目标

• 对长度为 $2^t$ 且满足 $t \geq 3$ 的非等价 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-线性 Hadamard 码进行分类。
• 解决关于 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-线性 Hadamard 码在 $\alpha=0$ 时是否与 $\alpha\neq0$ 时等价的开放问题。
• 确定 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-加法 Hadamard 码的单式自同构群的确切阶，以及对应 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-线性码的置换自同构群阶。

提出的方法

• 作者使用 Gray 映射 $\Phi$ 将 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-加法码转换为二元 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-线性码。
• 他们分析了类型为 $(\alpha,\beta;\gamma,\delta)$ 且满足 $\delta=2$ 和 $\gamma = \tilde{\gamma}+1$ 的 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-加法码的结构，重点关注其自同构群。
• 他们定义并分类了六种特定的置换 $\psi$，这些置换在大小为 4 的块上作为码结构的自同构作用。
• 他们证明，任何固定每个块中某一坐标的仿射置换必为恒等映射，通过反证法结合仿射映射的核与像性质完成。
• 他们将这六种置换与 $\mathbb{Z}_2^{\tilde{\gamma}} \times \mathbb{Z}_4^2$ 上的非奇异仿射变换组合，构造出完整的自同构群。
• 他们通过 $2^i - 1$ 的乘积与 $\tilde{\gamma}$ 的指数项，推导出自同构群阶的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否所有 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-线性 Hadamard 码在 $\alpha=0$ 时与 $\alpha\neq0$ 时等价？
• RQ2 对于 $t \geq 3$，长度为 $2^t$ 的非等价 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-线性 Hadamard 码共有多少种？
• RQ3 类型为 $(\alpha,\beta;\tilde{\gamma}+1,2)$ 的 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-加法 Hadamard 码的单式自同构群阶是多少？
• RQ4 对应 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-线性 Hadamard 码的置换自同构群阶是多少？

主要发现

• 所有 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-线性 Hadamard 码在 $\alpha=0$ 时均与 $\alpha\neq0$ 的码等价，因此对于 $t \geq 3$，长度为 $2^t$ 的非等价码总数为 $\lfloor t/2 \rfloor$。
• 类型为 $(\alpha,\beta;\tilde{\gamma}+1,2)$ 的 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-线性 Hadamard 码的自同构群由所有形如 $\psi\alpha$ 的置换构成，其中 $\alpha$ 是 $\mathbb{Z}_2^{\tilde{\gamma}} \times \mathbb{Z}_4^2$ 上的非奇异仿射变换，$\psi$ 为六种特定置换之一。
• 自同构群的阶为 $|\mathrm{Aut}(C)| = 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}\tilde{\gamma}(\tilde{\gamma}+1) + 4\tilde{\gamma} + 9} \cdot 3 \prod_{i=1}^{\tilde{\gamma}} (2^i - 1)$。
• 六种置换 $\psi$ 被显式构造并证明其保持码结构，构成一个阶为 6 的群。
• 证明依赖于表明：任何固定每个块中某一坐标的仿射自同构必为恒等映射，该结论通过仿射映射的核与像分析得出。
• 推导出的群阶与下界和上界一致，确认了自同构群描述的完备性。