[论文解读] Classifying fractionalization: symmetry classification of gapped Z2 spin liquids in two dimensions

Andrew M. Essin, Michael Hermele|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2012

Quantum many-body systems被引用 13

一句话总结

本文通过将任意 anyon 的分数化类识别为上同调群 H²(G, ℤ₂) 的元素，对二维无能隙 ℤ₂ 自旋液体进行了对称性分类，其中 G 为对称群。结果表明，由对称群的项目表示所决定的不同对称性类定义了拓扑上不同的相，这些相无法在不破缺对称性或经历相变的情况下通过绝热演化相互连接。对于具有时间反演和 SO(3) 自旋旋转的正方晶格空间群，该分类得到约 2²¹ = 2,098,176 种不同的对称性类。

ABSTRACT

We classify distinct types of quantum number fractionalization occurring in two-dimensional topologically ordered phases, focusing in particular on phases with Z2 topological order, that is, on gapped Z2 spin liquids. We find that the fractionalization class of each anyon is an equivalence class of projective representations of the symmetry group, corresponding to elements of the cohomology group H^2(G,Z2). This result leads us to a symmetry classification of gapped Z2 spin liquids, such that two phases in different symmetry classes cannot be connected without breaking symmetry or crossing a phase transition. Symmetry classes are defined by specifying a fractionalization class for each type of anyon. The fusion rules of anyons play a crucial role in determining the symmetry classes. For translation and internal symmetry, braiding statistics plays no role, but can affect the classification when point group symmetries are present. For square lattice space group, time reversal and SO(3) spin rotation symmetry, we find 2,098,176 ~ 2^21 distinct symmetry classes. We give an explicit construction of symmetry classes for square lattice space group symmetry in the toric code model. Via simple examples, we illustrate how information about fractionalization classes can in principle be obtained from the spectrum and quantum numbers of excited states. Moreover, the symmetry class can be partially determined from the quantum numbers of the four degenerate ground states on the torus. We also extend our results to arbitrary Abelian topological orders, and compare our classification with the related projective symmetry group classification of parton mean-field theories. Our results provide a framework for understanding and probing the sharp distinctions among symmetric Z2 spin liquids, and are a first step toward a full classification of symmetric topologically ordered phases.

研究动机与目标

• 对二维无能隙 ℤ₂ 自旋液体中量子数分数化的不同类型进行分类。
• 建立一个对称性分类框架，以区分具有相同拓扑序但分数化方式不同的对称性丰富相。
• 通过群上同调方法，确定对称性操作在任意子上的项目化作用方式，从而对分数化模式进行分类。
• 证明不同对称性类中的相无法在不破缺对称性或穿越相变的情况下实现绝热连接。
• 将分类方法推广至具有平移和内禀对称性的广义阿贝尔拓扑序，并与现有的项目对称群方法进行比较。

提出的方法

• 使用上同调群 H²(G, ℤ₂) 对对称群 G 的项目表示进行分类，这些项目表示编码了任意子的分数化类。
• 将该框架应用于具有平移、内禀和点群对称性的系统，表明对于平移和内禀对称性，编织统计不起作用，但对点群对称性下的分类具有影响。
• 在正方晶格空间群、时间反演和 SO(3) 自旋旋转下，利用 11 个项目表示的生成集，在任意子模型中显式构造了对称性类。
• 通过将局域希尔伯特空间分解为体和全局部分，推导出在环面上四重简并基态空间上对称性算符的变换规则。
• 利用关系式 S_a|ψ_α⟩ = S_a(R)S_a^G|ψ_α⟩ 分离局部与全局对称性作用，从而从激发态的量子数中提取分数化类。
• 证明了在正方晶格空间群加上时间反演和自旋旋转下，11 个 σ 参数构成的因子集可生成 H²(G, ℤ₂) ≅ ℤ₂¹¹，从而可实现全部 2¹¹ = 2,098,176 种类。

实验结果

研究问题

• RQ1 当存在对称性时，如何对 ℤ₂ 自旋液体中不同类型分数化的分类？
• RQ2 两个具有相同拓扑序但分数化方式不同的无能隙 ℤ₂ 自旋液体是否可以实现绝热连接？其决定因素是什么？
• RQ3 平移、时间反演和点群对称性如何约束任意子可能的分数化模式？
• RQ4 能否从激发态或基态空间的量子数推断出 ℤ₂ 自旋液体的对称性类？
• RQ5 在给定对称群（如具有时间反演和自旋旋转的正方晶格空间群）下，对称性丰富 ℤ₂ 自旋液体相的完整集合是什么？

主要发现

• 每个任意子的分数化类是群 G 的项目表示的等价类，由 H²(G, ℤ₂) 的元素分类。
• 对于具有时间反演和 SO(3) 自旋旋转的正方晶格空间群，恰好存在 2,098,176 种不同的对称性类，对应于 H²(G, ℤ₂) ≅ ℤ₂¹¹。
• 该分类并不完整，因为它未包含被对称操作置换的任意子；此类置换未被当前框架所涵盖。
• 环面上四个简并基态的量子数可部分确定对称性类，为分数化的可观测量提供特征信号。
• 该框架允许从准粒子激发（包括单个任意子和通量）的谱和量子数中确定分数化类。
• 构造了一个由 11 个项目表示组成的生成集，使得通过张量积可实现对称群的所有 2¹¹ = 2,098,176 种可能的因子集。