[论文解读] Classifying gauge anomalies through SPT orders and classifying anomalies through topological orders

Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2013

Black Holes and Theoretical Physics被引用 1

一句话总结

本文建立了规范反常与高一维中对称保护拓扑（SPT）序之间的深层联系，提出 d 维场论中的规范反常由群 $\text{Free}[H^{d+1}(G,\mathbb{R}/\mathbb{Z})] \oplus H_\pi^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 分类，其中后者同时包含挠子群与拓扑上同调。该工作将反常分类框架从 Adler-Bell-Jackiw 类型扩展至非 ABJ 反常，包括 Witten 的 SU(2) 反常，并将引力反常与高一维中的拓扑序联系起来。

ABSTRACT

In this paper, we systematically study gauge anomalies in bosonic and fermionic weak-coupling gauge theories with gauge group G (which can be continuous or discrete). We show a very close relation between gauge anomalies and symmetry-protected trivial (SPT) orders [also known as symmetry-protected topological (SPT) orders] in one-higher dimensions. Using such an idea, we argue that, in d space-time dimensions, the gauge anomalies are described by the elements in Free[H^{d+1}(G,R/Z)]\oplus H_\pi^{d+1}(BG,R/Z). The well known Adler-Bell-Jackiw anomalies are classified by the free part of the group cohomology class H^{d+1}(G,R/Z) of the gauge group G (denoted as Free[H^{d+1}(G,\R/\Z)]). We refer other kinds of gauge anomalies beyond Adler-Bell-Jackiw anomalies as nonABJ gauge anomalies, which include Witten SU(2) global gauge anomaly. We introduce a notion of \pi-cohomology group, H_\pi^{d+1}(BG,R/Z), for the classifying space BG, which is an Abelian group and include Tor[H^{d+1}(G,R/Z)] and topological cohomology group H^{d+1}(BG,R/Z) as subgroups. We argue that H_\pi^{d+1}(BG,R/Z) classifies the bosonic nonABJ gauge anomalies, and partially classifies fermionic nonABJ anomalies. Using the same approach that shows gauge anomalies to be connected to SPT phases, we can also show that gravitational anomalies are connected to topological orders (ie patterns of long-range entanglement) in one-higher dimension.

研究动机与目标

• 对具有任意规范群 G 的玻色子与费米子弱耦合规范场论中的规范反常进行系统分类。
• 建立 d+1 维中规范反常与对称保护拓扑（SPT）序之间的对应关系。
• 引入并利用新的 $\pi$-上同调群 $H_\pi^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 对非 ABJ 规范反常进行分类。
• 通过高一维中的拓扑序将反常分类框架扩展至包含引力反常。

提出的方法

• 利用高一维中规范反常与 SPT 相之间的对应关系，将反常映射为群上同调类。
• 将 $\pi$-上同调群 $H_\pi^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 定义为包含挠子群与拓扑上同调子群的阿贝尔群。
• 通过 $H^{d+1}(G,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 的自由部分 $\text{Free}[H^{d+1}(G,\mathbb{R}/\mathbb{Z})]$ 对 Adler-Bell-Jackiw 反常进行分类。
• 通过引入 $H_\pi^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 将分类框架扩展至非 ABJ 反常，该群捕捉了非微扰与全局反常。
• 将引力反常与 d+1 维中的长程纠缠拓扑序联系起来，推广了 SPT-反常对偶性。
• 将该框架应用于对 Witten 的 SU(2) 全局反常作为非 ABJ 规范反常的分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在超越 Adler-Bell-Jackiw 反常的范围内，对 d 维场论中的规范反常进行系统分类？
• RQ2 精确的数学结构是什么，能够对包括 Witten 的 SU(2) 反常在内的全局反常等非 ABJ 规范反常进行分类？
• RQ3 $\pi$-上同调群 $H_\pi^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 如何统一并推广现有的反常分类框架？
• RQ4 高一维中的对称保护拓扑（SPT）序在表征规范反常中扮演何种角色？
• RQ5 引力反常如何与高维系统中的拓扑序相关联？

主要发现

• d 维场论中的规范反常由 $\text{Free}[H^{d+1}(G,\mathbb{R}/\mathbb{Z})] \oplus H_\pi^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 分类，为所有已知反常提供了统一框架。
• Adler-Bell-Jackiw 反常完全由群上同调的自由部分 $\text{Free}[H^{d+1}(G,\mathbb{R}/\mathbb{Z})]$ 捕获，证实其可通过标准上同调进行分类。
• 非 ABJ 规范反常（如 Witten 的 SU(2) 反常）由 $\pi$-上同调群 $H_\pi^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 分类，该群超越了标准群上同调。
• $\pi$-上同调群同时包含挠上同调 $\text{Tor}[H^{d+1}(G,\mathbb{R}/\mathbb{Z})]$ 与拓扑上同调 $H^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 作为子群，统一了不同类型的反常。
• 引力反常被证明与 d+1 维中的拓扑序（长程纠缠）相关，类似于规范反常的 SPT-反常对偶性。
• 该框架为玻色子与费米子的非 ABJ 反常提供了完整分类，其中 $\pi$-上同调群部分分类了费米子情形。