[论文解读] Classifying Poincaré Inequalities and the local geometry of RNP-Differentiability Spaces

Sylvester Eriksson‐Bique|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文完整刻画了RNP-Lipschitz可微空间：即恰好为PI-可 rectify 的度量测度空间（可被满足局部(1,p)-Poincaré不等式的空间覆盖至零测度），且不包含正测度的孔状集。关键创新在于提出一种新颖的“加厚”构造，将完全不连通子集扩展为满足Poincaré不等式的空间，同时引入一种新的定量连通性条件，该条件与局部Poincaré不等式等价，从而解决了关于可微空间几何结构及其与Poincaré不等式关系的长期悬而未决问题。

ABSTRACT

We characterize complete RNP-differentiability spaces as those spaces which are rectifiable in terms of doubling metric measure spaces satisfying some local $(1, p)$-Poincaré inequalities. This gives a full characterization of spaces admitting a strong form of a differentiability structure in the sense of Cheeger, and provides a partial converse to his theorem. The proof is based on a new `thickening' construction, which can be used to enlarge subsets into spaces admitting Poincaré inequalities. We also introduce a new notion of quantitative connectivity which characterizes spaces satisfying local Poincaré inequalities. This characterization is of independent interest, and has several applications separate from differentiability spaces. We resolve a question of Tapio Rajala on the existence of Poincaré inequalities for the class of $MCP(K, n)$-spaces which satisfy a weak Ricci-bound. We show that deforming a geodesic metric measure space by Muckenhoupt weights preserves the property of possessing a Poincaré inequality. Finally, the new condition allows us to show that many classes of weak, Orlicz and non-homogeneous Poincaré inequalities `self-improve' to classical $(1, q)$-Poincaré inequalities for some $q \in [1,\infty)$, which is related to Keith's and Zhong's theorem on self-improvement of Poincaré inequalities.

研究动机与目标

• 解决RNP-可微空间是否为PI-可 rectify 的开放问题，即是否可被满足局部(1,p)-Poincaré不等式的空间子集覆盖至零测度。
• 建立具备强形式Cheeger可测可微结构的空间的几何刻画。
• 发展一种新方法，从连通性受限的子集构造满足Poincaré不等式的空间，从而在非PI设定下恢复Poincaré不等式。
• 通过证明在温和的测度理论条件下，RNP-可微结构的存在性蕴含PI-可 rectify 性，为Cheeger定理提供部分逆向结果。

提出的方法

• 提出一种新颖的“加厚”构造，将完全不连通子集嵌入更大的度量测度空间，提升其连通性与Poincaré不等式性质。
• 定义一种新的定量连通性条件，该条件与局部(1,p)-Poincaré不等式的存在性等价，提供一种独立于测度加倍的几何刻画。
• 应用Arzelà-Ascoli定理与Gromov-Hausdorff收敛性，构造避开开集且间隙大小受控的1-Lipschitz曲线片段。
• 利用不同可微空间在爆破极限中曲线片段的极限，证明切触空间满足(1,p)-Poincaré不等式。
• 借助Bate与Li关于RNP-可微空间中渐近非齐次Poincaré不等式的研究成果，识别出具有统一连通性性质的子集。
• 应用Muckenhoupt权与Orlicz型Poincaré不等式的理论，证明弱Poincaré不等式与非齐次Poincaré不等式“自改善”为某q∈[1,∞)的古典(1,q)-Poincaré不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个完备的RNP-Lipschitz可微空间是否都是PI-可 rectify 的，即是否可被满足局部(1,p)-Poincaré不等式的空间子集覆盖至零测度？
• RQ2 能否在加倍度量测度空间中构造一种与局部(1,p)-Poincaré不等式存在性等价的定量连通性条件？
• RQ3 在测地度量测度空间上，Poincaré不等式性质是否在Muckenhoupt权变形下保持不变？
• RQ4 弱Poincaré不等式、Orlicz型Poincaré不等式或非齐次Poincaré不等式是否自改善为某q∈[1,∞)的古典(1,q)-Poincaré不等式？
• RQ5 能否通过曲线片段的几何构造，证明RNP-可微空间的切触空间满足(1,p)-Poincaré不等式？

主要发现

• 建立了完整刻画：一个完备度量测度空间是RNP-Lipschitz可微空间，当且仅当它是PI-可 rectify 的，且每个孔状集的测度为零。
• “加厚”构造成功地将连通性差的子集转化为满足局部(1,p)-Poincaré不等式的空间，从而在非PI设定下恢复了Poincaré不等式。
• 引入一种新的定量连通性条件，其与局部(1,p)-Poincaré不等式的存在性等价，提供了一种几何的、与测度无关的判别准则。
• 本文通过证明满足弱Ricci曲率有界的$MCP(K,n)$-空间满足Poincaré不等式，解决了Tapio Rajala提出的问题。
• 证明了Muckenhoupt权变形在测地度量测度空间中保持Poincaré不等式性质。
• 弱Poincaré不等式、Orlicz型Poincaré不等式与非齐次Poincaré不等式均自改善为某q∈[1,∞)的古典(1,q)-Poincaré不等式，扩展了Keith与Zhong的结果。