[论文解读] Clifford Algebras in Physics

Michel Rausch de Traubenberg|ArXiv.org|Jun 1, 2005

Algebraic and Geometric Analysis被引用 3

一句话总结

本文证明了克利福德代数在构建四维、十维和十一维的庞加莱代数的超对称扩展中具有基础性作用。通过分析克利福德代数的矩阵表示，本文确立了马约拉纳旋量和外尔旋量的存在性，并表明超对称性自然地在超多重态中以相等数量统一玻色子和费米子，而低维理论则通过十一维超引力的维数约化而得出。

ABSTRACT

We study briefly some properties of real Clifford algebras and identify them as matrix algebras. We then show that the representation space on which Clifford algebras act are spinors and we study in details matrix representations. The precise structure of these matrices gives rise to the type of spinors one is able to construct in a given space-time dimension: Majorana or Weyl. Properties of spinors are also studied. We finally show how Clifford algebras enable us to construct supersymmetric extensions of the Poincaré algebra. A special attention to the four, ten and eleven-dimensional space-times is given. We then study the representations of the considered supersymmetric algebras and show that representation spaces contain an equal number of bosons and fermions. Supersymmetry turns out to be a symmetry which mixes non-trivially the bosons and the fermions since one multiplet contains bosons and fermions together. We also show how supersymmetry in four and ten dimensions are related to eleven dimensional supersymmetry by compactification or dimensional reduction.

研究动机与目标

• 确立克利福德代数作为构建庞加莱代数超对称扩展的数学基础框架。
• 基于克利福德代数的矩阵表示，根据时空维度对旋量类型（马约拉纳、外尔）进行分类。
• 展示四维、十维和十一维的超对称性如何源于相同的代数结构，且低维理论通过维数约化获得。
• 表明超对称代数的不可约表示包含相等数量的玻色子和费米子自由度。
• 通过紧化阐明十一维超引力、IIA/B型超弦理论与四维N=8超引力之间的关系。

提出的方法

• 使用实数和复数克利福德代数，其对易关系为 {e_M, e_N} = 2η_MN，度量符号为 (t,s)。
• 通过狄拉克Γ-矩阵在 2^[d/2]-维旋量空间上的矩阵表示来实现克利福德代数的表示。
• 分析Γ-矩阵的对称性质，基于模8的维度对旋量进行外尔和马约拉纳旋量的分类。
• 利用克利福德代数表示中的旋量生成元，构造庞加莱代数的非平凡扩展。
• 通过将额外维度紧化，将十一维超对称性约化为四维，利用Spin(2)×Spin(7)分解来分解场。
• 使用群论和分支规则，在维数约化背景下将Spin(9)的表示分解为Spin(2)×Spin(7)的表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 克利福德代数如何决定不同时空维度中马约拉纳旋量和外尔旋量的存在性与结构？
• RQ2 克利福德代数通过何种精确的代数机制生成庞加莱代数的超对称扩展？
• RQ3 四维N=8超对称性与十维IIA/B型超引力如何通过十一维超引力的维数约化而产生？
• RQ4 为何超对称理论中的超多重态包含相等数量的玻色子和费米子自由度？
• RQ5 克利福德代数的矩阵表示在4、10和11维超多重态构造中起到何种作用？

主要发现

• 十一维克利福德代数 C_{1,10} 为十一维超引力提供了代数基础，其16维旋量表示构成了超多重态的基础。
• 在四维中，N=8超对称多重态包含1个引力子、28个矢量、56个旋量和35个标量，玻色子与费米子自由度数量相等。
• 十一维超多重态的维数约化产生四维N=8超引力多重态，场的分解与Spin(9)群的表示内容一致。
• 十维IIA型和IIB型超多重态通过紧化从十一维理论导出，其中IIB理论包含两个左手旋量和两个自对偶四形式。
• 十一维超多重态在Spin(2)×Spin(7)下的分解为1个引力子、7个矢量、28个标量、8个引力ino和58个旋量，证实了维数约化的自洽性。
• 马约拉纳旋量和外尔旋量的存在性由维度模8决定，其中外尔旋量仅存在于偶数维，而马约拉纳旋量存在于克利福德代数具有实表示的维度中。