[论文解读] Clifford Algebras, Spinors and $Cl(8,8)$ Unification

Matej Pavšič|arXiv (Cornell University)|May 25, 2021

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 20被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种使用 Clifford 代数 Cl(8,8) 的统一框架，用于在 16 维向量空间 V₈,₈ 中描述基本粒子和相互作用，其中旋量满足一个狄拉克方程，其内部几何结构生成质量与规范对称性。该模型实现了 SO(10) 大统一与洛伦兹不变性，通过 Clifford 空间中的几何旋量规避了 Coleman-Mandula 定理，质量来源于希格斯型耦合与额外维中的轨道角动量的共同作用。

ABSTRACT

It is shown how the vector space $V_{8,8}$ arises from the Clifford algebra $Cl(1,3)$ of spacetime. The latter algebra describes fundamental objects such as strings and branes in terms of their $r$-volume degrees of freedom, $x^{μ_1 μ_2 ...μ_r}$ $\equiv x^M$, $r=0,1,2,3$, that generalizethe concept of center of mass. Taking into account that there are sixteen $x^M$, $M=1,2,3,...,16$, and in general $16 imes 15/2 = 120$ rotations of the form $x'^M = {R^M}_N x^N$, we can consider $x^M$ as components of a vector $X=x^M q_M$, where $q_M$ are generators of the Clifford algebra $Cl(8,8)$. The vector space $V_{8,8}$ has enough room for the unification of the fundamental particles and forces of the standard model. The rotations in $V_{8,8}\otimes \mathbb{C}$ contain the grand unification group $SO(10)$ as a subgroup, and also the Lorentz group $SO(1,3)$. It is shown how the Coleman-Mandula no go theorem can be avoided. Spinors in $V_{8,8}\otimes \mathbb{C}$ are constructed in terms of the wedge products of the basis vectors rewritten in the Witt basis. They satisfy the massless Dirac equation in $M_{8,8}$ with the internal part of the Dirac operator giving the non vanishing masses in four dimensions.

研究动机与目标

• 通过扩展时空自由度并使用 Clifford 代数 Cl(1,3)，将其嵌入 16D Clifford 空间，以统一基本粒子与相互作用，包括引力。
• 展示大统一群 SO(10) 与洛伦兹群 SO(1,3) 如何作为 V₈,₈ ⊗ ℂ 中旋转的子群出现。
• 通过在更高维几何框架中构造旋量，使规范对称性与时空对称性非线性统一，从而规避 Coleman-Mandula 无用定理。
• 不仅通过希格斯场解释粒子质量，还通过内部维度中的轨道动量解释质量，其中 Yukawa 耦合编码于旋量连接中。
• 提出镜像粒子与暗物质候选者自然源于 Clifford 空间的几何结构。

提出的方法

• 通过 r-体积自由度 x^{μ₁…μᵣ} ∈ Cl(1,3) 表示扩展对象（弦、膜），其构成由 Cl(8,8) 的基元素张成的 16 维向量空间。
• 在 Clifford 空间 C 的切空间中构建 16D 向量空间 V₈,₈，其中 Cl(8,8) 的生成元 q_M 定义了向量 X = x^M q_M 的分量。
• 使用 Witt 基中基向量的楔积定义 V₈,₈ ⊗ ℂ 中的旋量，形成 Cl(8,8) 的极小左理想。
• 在 M₈,₈ 中施加无质量狄拉克方程，其内部狄拉克算子部分通过曲率与旋量连接项在 4D 中生成非零质量。
• 使用协变导数 ∂_M Ψ = (∂_M ψ^Ã + Γ_M^Ã_Ã ψ^Ã) ξ_Ã，将规范场、旋量连接与希格斯型多重态统一于旋量连接 Γ 中。
• 推导有效质量方程 m²ψ^i = g^{MN} D_M D_N ψ^i + (σ_{MN})^i_j R^{j}_{MN} ψ^k，表明质量由希格斯与轨道动量贡献共同决定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用时空的 Clifford 代数 Cl(1,3) 构建一个 16 维几何框架，以统一所有基本粒子与相互作用？
• RQ2 在 V₈,₈ ⊗ ℂ 中的旋转如何同时包含 SO(10) 大统一与洛伦兹对称性 SO(1,3) 作为子群？
• RQ3 在此 Clifford 空间的几何框架中，如何规避 Coleman-Mandula 无用定理？
• RQ4 该模型中粒子质量的起源是什么？轨道动量与旋量连接如何在标准希格斯机制之外贡献质量？
• RQ5 镜像粒子与暗物质候选者如何自然地从 Clifford 空间的几何结构中涌现？

主要发现

• 由 Clifford 代数 Cl(8,8) 构建的 16 维向量空间 V₈,₈ 提供了足够的几何自由度，可统一所有基本粒子与相互作用，包括引力。
• SO(10) 作为 V₈,₈ ⊗ ℂ 中旋转的子群出现，实现了标准模型规范群与费米子世代的大统一。
• 洛伦兹群 SO(1,3) 作为 SO(2,4) 的子群嵌入其中，而 SO(2,4) 又是 SO(8,8) 的子群，从而在高维框架中保持了时空对称性。
• 质量生成并非仅依赖希格斯场；内部空间中的轨道动量项 g^{MN} ∂_M ∂_N ψ^i 在有效质量方程中起显著作用，如推导出的方程 m²ψ^i = g^{MN} D_M D_N ψ^i + (σ_{MN})^i_j R^{j}_{MN} ψ^k 所示。
• 协变导数 ∂_M Ψ 将所有规范场、旋量连接与希格斯多重态统一于旋量连接 Γ_M^Ã_Ã 中，实现了 Clifford 空间框架中的几何统一。
• 镜像粒子与暗物质候选者自然地从 Clifford 空间的几何结构中涌现，因其与镜像规范场耦合，且不通过标准模型相互作用可观测。