[论文解读] Closed choice: Cardinality vs convex dimension

Stéphane Le Roux, Arno Pauly|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2013

Auction Theory and Applications被引用 1

一句话总结

本文研究魏劳赫格（Weihrauch lattice）以比较有限集与凸集上选择公理的计算强度。研究发现，从 (n+1) 个元素的集合中选择可归约至从 n 维凸集中选择，但无法从 (n−1) 维凸集中归约，从而在魏劳赫度（Weihrauch degrees）上精确建立了有限集基数与凸集维数之间的对应关系。此外，研究还表明，连续函数具有有限个零点的条件，严格弱于具有有限个局部极值的条件。

ABSTRACT

We investigate choice principles in the Weihrauch lattice for finite sets on the one hand, and convex sets on the other hand. Increasing cardinality and increasing dimension both correspond to increasing Weihrauch degrees. Moreover, we demonstrate that the dimension of convex sets can be characterized by the cardinality of finite sets encodable into them. Precisely, choice from an n + 1 point set is reducible to choice from a convex set of dimension n, but not reducible to choice from a convex set of dimension n - 1. Furthermore we consider searching for zeros of continuous functions, and demonstrate that having finitely many zeros is a strictly weaker condition than having finitely many local extrema.

研究动机与目标

• 使用魏劳赫格框架比较有限集与凸集上选择公理的计算复杂度。
• 确定有限集基数的增加如何与凸集维数的增加在魏劳赫可归约性方面相对应。
• 通过可编码的有限集基数表征凸集的维数。
• 研究连续函数中不同条件的相对强度，特别是有限个零点与有限个局部极值之间的比较。

提出的方法

• 利用魏劳赫格框架对有限集与凸集上的选择函数的计算强度进行分类与比较。
• 使用可归约关系比较从 (n+1) 个点的集合中选择与从 n 维凸集中选择的计算强度。
• 证明从 n 维凸集中选择可计算出从 (n+1) 个点集合中选择，但反之不成立。
• 分析连续函数，比较寻找零点与寻找局部极值的计算难度。
• 使用编码技术将有限集嵌入凸集，以建立基数与维数之间的关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在魏劳赫度的意义下，有限集的基数与凸集的维数之间有何关系？
• RQ2 从 (n+1) 个点的集合中选择是否可归约至从 n 维凸集中选择？
• RQ3 从 (n+1) 个点的集合中选择是否可归约至从 (n−1) 维凸集中选择？
• RQ4 寻找连续函数的零点与寻找局部极值的计算复杂度如何比较？
• RQ5 凸集的维数能否通过可编码进其中的有限集的基数来表征？

主要发现

• 从 (n+1) 个点的集合中选择可归约至从 n 维凸集中选择。
• 从 (n+1) 个点的集合中选择不可归约至从 (n−1) 维凸集中选择。
• 凸集的维数精确对应于可通过选择公理编码进其中的最大有限集基数。
• 在魏劳赫格框架中，连续函数具有有限个零点的条件严格弱于具有有限个局部极值的条件。
• 选择公理的魏劳赫度随有限集基数与凸集维数的增加而提升，从而确立了一个层级结构。