[论文解读] Some semialgebraic sets of states and separability conjectures

Lin Chen, Dragomir Ž. Djoković|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 2

一句话总结

本文运用半代数集的维数理论解决了量子纠缠分离性中的开放问题：证明了在满足 (M−1)(N−1) > 1 的系统中，存在必须在其凸分解中使用超过 d 个纯乘积态的分离态；并表明，分离态与纯乘积态的混合态可能具有比原始分离态更低的长度。此外，本文还确立了实不变态可表示为实纯乘积态的凸组合，并针对低维情形提出了分离集的解析表征的猜想。

ABSTRACT

Many important sets of normalized states in a multipartite quantum system of finite dimension d, such as the set S of all separable states, are real semialgebraic sets. We compute dimensions of many such sets in several low-dimensional systems. By using dimension arguments, we show that there exist separable states which are not convex combinations of d or less pure product states. For instance, such states exist in bipartite M x N systems when (M-1)(N-1)>1. This solves an open problem proposed in [J. Mod. Opt. 47 (2000), 377-385]. We prove that there exist a separable state rho and a pure product state, whose mixture has smaller length than that of rho. We show that any real rho in S, which is invariant under all partial transpose operations, is a convex sum of real pure product states. In the case of the 2 x N system, the number r of product states can be taken to be r=rank(rho). We also show that the general multipartite separability problem can be reduced to the case of real states. Regarding the separability problem, we propose two conjectures describing S as a semialgebraic set, which may eventually lead to an analytic solution in some low-dimensional systems such as 2 x 4, 3 x 3 and 2 x 2 x 2.

研究动机与目标

• 解决多体量子系统中所有分离态是否都能分解为至多 d 个纯乘积态的凸组合这一开放问题。
• 研究低维量子系统中分离态集合 S 作为实半代数集的几何结构。
• 确定混合态的长度（分解中最小的乘积态数量）是否可通过与纯乘积态混合而降低。
• 建立实部分转不变态为实纯乘积态凸组合的条件。
• 提出猜想，以期实现对低维系统（如 2×4、3×3 和 2×2×2）中分离态的解析表征。

提出的方法

• 应用实半代数集的维数理论，分析有限维量子系统中分离态集合 S 的结构。
• 运用代数几何技术，计算低维系统（如 M×N、2×N 和多体系统）中分离态集合的维数。
• 结合凸几何与表示论，证明某些在部分转置操作下不变的实态是实纯乘积态的凸组合。
• 将一般多体分离性问题约化为实密度矩阵的情形，从而简化分析。
• 提出两个猜想，将集合 S 描述为半代数集，有望在低维情形实现解析解。
• 分析与纯乘积态混合时态长度的行为，证明长度可能降低。

实验结果

研究问题

• RQ1 在满足 (M−1)(N−1) > 1 的 M×N 量子系统中，是否存在无法表示为至多 d 个纯乘积态凸组合的分离态？
• RQ2 通过与纯乘积态混合，是否可降低分离态的长度？
• RQ3 所有在 S 中且对所有部分转置操作不变的实密度矩阵，是否都是实纯乘积态的凸组合？
• RQ4 一般多体分离性问题是否可约化为实态的情形？
• RQ5 在 2×4、3×3 和 2×2×2 等低维系统中，分离态集合 S 是否可由有限组多项式不等式描述，从而实现解析表征？

主要发现

• 对于满足 (M−1)(N−1) > 1 的双体 M×N 系统，存在无法表示为 d 个或更少纯乘积态凸组合的分离态。
• 存在分离态 ρ 与纯乘积态 σ，使得对某个 t ∈ (0,1)，混合态 tρ + (1−t)σ 的长度小于 ρ。
• 任何在所有部分转置操作下不变的实分离态，都是实纯乘积态的凸组合。
• 在 2×N 系统中，分解实分离态 ρ 所需的实纯乘积态数量等于 rank(ρ)。
• 一般多体分离性问题可约化为实密度矩阵的情形。
• 本文提出两个猜想，若成立，则可将分离态集合 S 描述为半代数集，从而可能在 2×4、3×3 和 2×2×2 等低维系统中实现解析解。