[论文解读] Closed Mean Curvature Self-Shrinking Surfaces of Generalized Rotational Type

Peter McGrath|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用 3

一句话总结

该论文为每个 $ n \geq 2 $ 构造了 $ \mathbb{R}^{2n} $ 中一类新的闭合、嵌入的平均曲率自缩小时空，其微分同胚于 $ S^{n-1} \times S^{n-1} \times S^1 $，且在 $ SO(n) \times SO(n) $ 作用下不变。该构造利用广义旋转对称性，并在扭曲黎曼度量中求解测地线方程，通过轨道空间中轮廓曲线的极限行为证明了存在性。

ABSTRACT

For each $n\geq 2$ we construct a new closed embedded mean curvature self-shrinking hypersurface in $\mathbb{R}^{2n}$. These self-shrinkers are diffeomorphic to $S^{n-1} imes S^{n-1} imes S^1$ and are $SO(n) imes SO(n)$ invariant. The method is inspired by constructions of Hsiang and these surfaces generalize self-shrinking "tori" diffeomorphic to $S^{n-1} imes S^1$ constructed by Angenent.

研究动机与目标

• 构造除球面和 Angenent 的 $ S^{n-1} \times S^1 $ 托里外新的闭合、嵌入的平均曲率自缩小时空的例子。
• 通过使用 $ O(m) \times O(n) $-不变结构，将旋转对称方法推广至更高余维数。
• 证明存在具有非平凡拓扑的奇数维闭合自缩小时空，具体为 $ S^{n-1} \times S^{n-1} \times S^1 $，其中 $ n \geq 2 $。
• 将 Hsiang 的等变微分几何技术推广至平均曲率流自缩小时空的设定。

提出的方法

• 将自缩小时空建模为 $ \mathbb{R}^{2n} $ 中的 $ O(n) \times O(n) $-不变超曲面，将问题约化为轨道空间 $ Q = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x,y \geq 0\} $ 中的一条轮廓曲线。
• 通过要求轮廓曲线 $ \gamma_R $ 是共形扭曲度量 $ g = x^{2(n-1)}y^{2(n-1)}e^{-(x^2+y^2)/2}(dx^2 + dy^2) $ 中的测地线，推导其常微分方程。
• 使用一参数族初始条件 $ \gamma_R $，初始角度为 $ \theta = -\pi/4 $，半径为 $ R $，并分析当 $ R \searrow R_* $ 时其行为。
• 应用紧致性与初始条件的光滑依赖性，证明极限曲线 $ \gamma_{R_*} $ 在两端点处正交地与对角线 $ \ell $（即 $ x=y $）相交。
• 证明 $ \gamma_{R_*} $ 关于 $ \ell $ 的反射形成一条光滑、闭合、嵌入的测地线，该测地线通过轨道空间对应关系对应于一个闭合自缩小时空。
• 通过涉及角速度导数 $ \dot{\theta} $ 和度量曲率的反证法，排除极限中出现非嵌入或非闭合行为的可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在高维中构造出超越球面和 Angenent 的 $ S^{n-1} \times S^1 $ 托里之外的新的闭合、嵌入自缩小时空？
• RQ2 是否存在 $ O(m) \times O(n) $-不变的自缩小时空，满足 $ m,n \geq 2 $ 且具有非平凡拓扑（如 $ S^{n-1} \times S^{n-1} \times S^1 $）？
• RQ3 是否可能通过广义旋转对称性和扭曲度量中的测地线流构造奇数维闭合自缩小时空？
• RQ4 轨道空间的几何结构对这类自缩小时空的存在性与正则性施加了何种约束？
• RQ5 一参数族解的极限轮廓曲线是否能产生一条闭合、嵌入的测地线，从而对应于一个光滑的自缩小时空？

主要发现

• 对每个 $ n \geq 2 $，在 $ \mathbb{R}^{2n} $ 中存在一个微分同胚于 $ S^{n-1} \times S^{n-1} \times S^1 $ 的闭合、嵌入的平均曲率自缩小时空。
• 该自缩小时空在 $ \mathbb{R}^{2n} $ 上的 $ SO(n) \times SO(n) $ 作用下不变，推广了 Angenent 的 $ SO(n) $-不变托里。
• 自缩小时空的轮廓曲线 $ \gamma_{R_*} $ 在两端点处正交地与对角线 $ \ell $（即 $ x=y $）相交，确保反射后的光滑性。
• 极限曲线 $ \gamma_{R_*} $ 是扭曲度量 $ g = x^{2(n-1)}y^{2(n-1)}e^{-(x^2+y^2)/2}(dx^2 + dy^2) $ 中的测地线，其反射形成一条闭合嵌入的测地线。
• 该构造通过证明 $ \gamma_{R_n} $ 不可能在靠近坐标轴处收敛于一条与 $ x $-轴或 $ y $-轴相交的测地线（除非其不为法向图）来解决 $ C^2 $ 收敛性问题。
• 证明表明，轨道空间中任意嵌入的闭合测地线必须至少两次与对角线 $ \ell $ 相交，从而确认了拓扑一致性。