[论文解读] Closed, Rich, Privileged, Trapezoidal, and Balanced Words in Automatic Sequences.

Luke Schaeffer, Jeffrey Shallit|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2015

semigroups and automata theory被引用 3

一句话总结

本文证明了自动序列中闭合、丰富、特权、梯形或平衡等性质可用一阶逻辑表达，从而表明其特征函数是自动的。本文提出了特权词的新表征方式，并计算了诸如Thue-Morse、Rudin-Shapiro和Fibonacci等关键序列的这些特征函数。

ABSTRACT

We prove that the property of being closed (resp., rich, privileged trapezoidal, balanced) is expressible in first-order logic for automatic (and some related) sequences. It therefore follows that the characteristic function of those n for which an automatic sequence x has a closed (resp., privileged, rich, trapezoidal, balanced) factor of length n is automatic. For privileged words this requires a new characterization of the privileged property. We compute the corresponding characteristic functions for various famous sequences, such as the Thue-Morse sequence, the Rudin-Shapiro sequence, the ordinary paperfolding sequence, period-doubling sequence, and the Fibonacci sequence.

研究动机与目标

• 确定自动序列的基本组合性质是否可以被逻辑形式化。
• 建立自动序列中具有闭合、丰富、特权、梯形或平衡因子的长度 n 的集合本身是自动的。
• 提出一种新的特权性质的逻辑表征，以实现其在一阶逻辑中的可表达性。
• 计算著名自动序列（如Thue-Morse和Rudin-Shapiro）中这些性质的特征函数。

提出的方法

• 使用一阶逻辑公式在自动序列上表达闭合、丰富、特权、梯形和平衡等性质。
• 提出一种新的特权词表征方式，使其能够在一阶逻辑中实现逻辑可表达性。
• 利用自动序列在一阶可定义谓词下的封闭性，证明此类长度的特征函数是自动的。
• 应用已知的自动序列中一阶可定义集合的算法，以计算特定序列的特征函数。
• 利用著名序列（如Thue-Morse、Rudin-Shapiro和Fibonacci）的结构特性，计算其各自的特征函数。
• 通过计算并验证每个目标序列的特征函数，验证该方法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 自动序列中闭合性质是否可用一阶逻辑表达？
• RQ2 自动序列中包含长度为 n 的丰富因子的长度 n 的集合是否是自动的？
• RQ3 是否可以以一种允许在自动序列中实现一阶可表达性的方式，对特权性质进行逻辑表征？
• RQ4 自动序列中梯形和平衡因子的特征函数是否是自动的？
• RQ5 Thue-Morse和Rudin-Shapiro等著名序列的显式特征函数是什么？

主要发现

• 自动序列中具有长度为 n 的闭合因子的长度 n 的特征函数是自动的。
• 自动序列中具有长度为 n 的丰富因子的长度 n 的特征函数是自动的。
• 对特权词提出的新逻辑表征使得其在自动序列上的一阶逻辑可表达性成为可能。
• 自动序列中具有长度为 n 的特权因子的长度 n 的特征函数是自动的。
• 该方法成功计算了Thue-Morse、Rudin-Shapiro、普通折纸、周期加倍和Fibonacci序列的特征函数。
• 结果证实，组合性质的逻辑可表达性导致其对应特征函数的自动性。