[论文解读] Clustered Graph Coloring and Layered Treewidth

Chun‐Hung Liu, David R. Wood|arXiv (Cornell University)|May 22, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 39被引用 16

一句话总结

本文通过基于树分解与分层着色的新型算法方法，证明了在不包含 $K_{s,t}$ 子图且分层树宽有界的图类中，存在 $(s+2)$-着色且聚类有界。关键结果将聚类着色推广至排除完全二分图子图的稀疏图类，推广了此前关于每条边交叉次数有界的平面图与曲面嵌入图的结果。

ABSTRACT

A graph coloring has bounded clustering if each monochromatic component has bounded size. This paper studies such a coloring, where the number of colors depends on an excluded complete bipartite subgraph. This is a much weaker assumption than previous works, where typically the number of colors depends on an excluded minor. This paper focuses on graph classes with bounded layered treewidth, which include planar graphs, graphs of bounded Euler genus, graphs embeddable on a fixed surface with a bounded number of crossings per edge, amongst other examples. Our main theorem says that for fixed integers $s,t,k$, every graph with layered treewidth at most $k$ and with no $K_{s,t}$ subgraph is $(s+2)$-colorable with bounded clustering. The $s=3$ case implies that every graph with a drawing on a fixed surface with a bounded number of crossings per edge is 5-colorable with bounded clustering. Our main theorem is also a critical component in two companion papers that study clustered coloring of graphs with no $K_{s,t}$ subgraph and excluding a fixed minor, odd minor or topological minor.

研究动机与目标

• 本文旨在将聚类着色结果从排除子图类推广至仅排除完全二分图子图 $K_{s,t}$ 的图类。
• 研究在排除子图类之外的结构假设下，是否可在分层树宽作为关键参数的前提下实现有界聚类。
• 目标是最小化聚类着色所需的颜色数，其中单色连通分量的大小受限。
• 旨在统一并扩展此前关于有界最大度图与每条边交叉次数有界的平面图的研究结果。
• 本工作为后续研究排除子图、排除子式及排除拓扑子式下的聚类着色提供了基础工具。

提出的方法

• 以分层树宽为核心结构参数，采用树分解框架。
• 引入基于树分解中“栅栏”与“游行”结构的递归算法着色过程，以控制连通分量的大小。
• 采用列表着色设置，使用 $(s+2)$ 种颜色列表并施加相容性条件，以确保在约束条件下实现正确着色。
• 通过基于标识符的分析方法，追踪并界定单色连通分量的大小，利用“伪分量”与“块”结构。
• 通过顶点复制与边替换对图进行变换，以保持 $K_{s,t}$-自由性，同时支持算法着色过程。
• 通过分析算法过程中各阶段与关卡的归纳性命题，证明了单色连通分量的大小有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当分层树宽有界时，是否对任意固定的 $s$ 与 $t$，$K_{s,t}$-自由图均可实现使用常数个颜色的聚类着色？
• RQ2 聚类着色中的颜色数量是否仅由被排除的 $K_{s,t}$ 子图决定，而与 $t$ 及分层树宽参数无关？
• RQ3 该结果是否可推广至每条边交叉次数有界的平面图？这类图已知具有有界分层树宽。
• RQ4 该方法是否可推广至排除固定子式、奇子式或拓扑子式的图类，如附录论文所建议？
• RQ5 对于 $K_{2,t}$-自由图，其分层树宽有界时，是否存在 3-着色且聚类有界的可能？此问题目前仍为领域内开放问题。

主要发现

• 任意分层树宽不超过 $k$ 且不包含 $K_{s,t}$ 子图的图，均为 $(s+2)$-着色且聚类有界，其聚类界为依赖于 $s$、$k$ 与 $t$ 的函数 $\eta^*$。
• 当 $s=3$ 时，结果表明：在固定曲面上有绘制且每条边交叉次数有界的图类，均为 5-着色且聚类有界。
• 聚类界 $\eta^*$ 通过涉及树分解、栅栏与分阶段着色的算法过程显式构造。
• 证明表明，单色连通分量的大小被限制在 $\eta^* = \max\{\eta_1, \eta_2\}$ 以内，其中 $\eta_1 = h_{s+1}(k + \xi)$，而 $\eta_2$ 由主引理的递归应用导出。
• 该算法确保每个单色连通分量均包含于大小至多为 $\eta^*$ 的子图中，该子图可能为原图或经顶点复制后的变换图。
• 该结果在 $s \geq 2$ 时是紧的，即若无额外结构假设（如分层树宽有界），则无法实现有界聚类。