[论文解读] CM values of automorphic Green functions on orthogonal groups over totally real fields

Jan Hendrik Bruinier, Tonghai Yang|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 35被引用 5

一句话总结

该论文将Gross-Zagier和Schofer的框架扩展至任意全实数域上的正交群，通过谐Whittaker形式的正则化theta提升，计算了自守Green函数的CM值。论文推导出梅尔罗姆模形式CM值范数的显式有限公式，解决了基域所有嵌入下的阿基米德高度配对问题。

ABSTRACT

Generalizing work of Gross--Zagier and Schofer on singular moduli, we study the CM values of regularized theta lifts of harmonic Whittaker forms. We compute the archimedian part of the height pairing of arithmetic special divisors and CM cycles on Shimura varieties associated to certain quadratic spaces over an arbitrary totally real base field. As a special case, we obtain an explicit formula for the norms of the CM values of those meromorphic modular forms arising as regularized theta lifts of holomorphic Whittaker forms.

研究动机与目标

• 将Gross-Zagier和Schofer关于奇异模的成果推广至任意全实域上的自守Green函数的CM值。
• 计算全实域上希姆拉簇上算术特殊除子与CM循环之间高度配对的阿基米德部分。
• 推导出作为全纯Whittaker形式正则化theta提升的亚纯模形式之CM值范数的有限显式公式。
• 将Borcherds乘积与正则化theta提升理论扩展至超越Q的数域，通过谐Whittaker形式克服Koecher原理的障碍。

提出的方法

• 使用谐Whittaker形式的正则化theta提升作为输入，构造全实域上正交群的亚纯模形式与自守Green函数。
• 应用 seesaw对偶性与Siegel-Weil公式，将自守Green函数与Rankin-Selberg L-函数关联。
• 为基域所有实嵌入构造高度配对的积分表示，各处的局部贡献来自每个位置。
• 分步处理所有实嵌入的局部阿基米德高度，得到CM值范数的全局有限表达式。
• 利用Eisenstein级数 $\mathcal{E}_N^{(0)}$ 的傅里叶展开与次数公式 $\deg Z(\mathcal{O}_k) = \frac{4}{w_k} h_k$，计算主公式中指数项的值。
• 使用类数与单位根公式简化中心荷载项，得到常数 $C=1$ 的简洁表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否显式计算全实域上正交群自守Green函数的CM值，从而推广Gross-Zagier与Schofer的结果？
• RQ2 在一般全实域上，算术特殊除子与CM循环之间高度配对的阿基米德贡献是什么？
• RQ3 如何利用谐Whittaker形式的正则化theta提升构造CM值受控的亚纯模形式？
• RQ4 尽管局部积分无法单独求值，是否存在此类模形式CM值范数的有限闭式表达？

主要发现

• 在循环 $Z(\mathcal{O}_{-3}) = \frac{2}{3}P_3$ 处，亚纯模形式 $\tilde{t}$ 的CM值范数为 $2^{12} \cdot 3^6$，且与常数 $C=1$ 的公式一致。
• 对于CM循环 $\frac{1}{2}Z(\mathcal{O}_d)$，范数 $\operatorname{N}_{F/\mathbb{Q}}\tilde{t}(\frac{1}{2}Z(\mathcal{O}_d))$ 为素数上的有限乘积，对 $d = -8, -11, -15, -19, -23$ 等已计算出显式值。
• 在 $Z(\mathcal{O}_d)$ 处 $\tilde{t}$ 的范数公式为 $C^{\deg Z(W)} \exp\left(-\frac{\deg Z(W)}{4} \operatorname{CT}\langle\mathcal{P}, \Theta_P \otimes \mathcal{E}_N^{(0)}\rangle\right)$，其中 $C=1$，该公式由 $d=-3$ 情况导出。
• $\tilde{t}_{-8}(z) = \tilde{t}(z) - \tilde{t}(P_8)$ 在CM点的CM值与Elkies的数值数据一致，验证了方法的有效性。
• 当 $d = -8$ 时，范数为 $\frac{2^{12} \cdot 7^9 \cdot 167^6 \cdot 239^6}{13^{21}}$；当 $d = -11$ 时，范数为 $\frac{2^{18} \cdot 7^9 \cdot 11^3 \cdot 43^6 \cdot 127^6 \cdot 139^6 \cdot 307^6 \cdot 659^6}{13^{21} \cdot 83^{21}}$，与公式一致。
• 该方法成功计算了6个有理素数 $p \leq 1000$ 的CM值，这些素数在 $\mathcal{O}_F$ 中分裂且 $k_d/F$ 在2处无分支，包括 $p = 167, 239, 251$，并得出显式的有理范数。