[论文解读] CM Values of Higher Green's Functions

Maryna Viazovska|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 12

一句话总结

本文证明了关于 $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 上权为 $2k$ 的模形式的高阶 Green 函数 CM 值的一个猜想，表明当两个 CM 点位于同一虚二次域中时，与模形式关系相关的高阶 Green 函数的取值是某个代数数的对数。证明结合了 Borcherds 提升与 seesaw 对偶性，利用具有代数傅里叶系数的模形式及复乘法，确立了 CM 值的代数性。

ABSTRACT

Higher Green functions are real-valued functions of two variables on the upper half plane which are bi-invariant under the action of a congruence subgroup, have logarithmic singularity along the diagonal, and satisfy the equation $Δf = k(1 - k)f$, where $Δ$ is a hyperbolic Laplace operator and $k$ is a positive integer. Such functions were introduced in the paper of Gross and Zagier "Heegner points and derivatives of $L$-series"(1986). Also it was conjectured in this paper that higher Green's functions have "algebraic" values at CM points. In many particular cases this conjecture was proven by A. Mellit in his Ph. D. thesis. In this note we present a proof of the conjecture for any pair of CM points lying in the same quadratic imaginary field.

研究动机与目标

• 证明关于 $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 上权为 $2k$ 的模形式的高阶 Green 函数 CM 值代数性的猜想。
• 确立当 CM 点位于同一虚二次域中时，高阶 Green 函数的取值为某个代数数的对数。
• 将 Borcherds 提升与 seesaw 恒等式的方法扩展至具有整系数的模形式背景下的高阶 Green 函数。
• 通过微分算子与 theta 提升，将 Green 函数的 CM 值与具有代数傅里叶系数的亚纯模形式联系起来。

提出的方法

• 将高阶 Green 函数 $G_{k,\bm{\lambda}}$ 实现为对权为 $2-2k$ 的弱全纯模形式 $g_{\bm{\lambda}}$ 应用微分算子后所得的 Borcherds 提升。
• 利用 seesaw 对偶性，将 $G_{k,\bm{\lambda}}$ 的 CM 值与具有代数傅里叶系数的亚纯模形式函数的 CM 值关联起来。
• 当 $\mathfrak{z}_1, \mathfrak{z}_2$ 位于同一虚二次域中时，构造一个符号为 $(2,0)$ 的格 $N = v^+(\mathfrak{z}_1, \mathfrak{z}_2) \cap M_2(\mathbb{Z})$。
• 应用 Borcherds theta 提升，将 $\Phi_{M_2(\mathbb{Z})}(v^+, h_{\bm{\lambda}})$ 与格 $N$ 上的模形式 $f$ 关联，确保其具有有理傅里叶系数且常数项为零。
• 利用定理 6 证明 theta 提升 $\Phi_N(f)$ 等于 $\log \alpha$，其中 $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}$，借助复乘法与傅里叶系数的代数性。
• 通过提升链与对偶性的组合，建立关键恒等式 $G_{k,\bm{\lambda}}(\mathfrak{z}_1, \mathfrak{z}_2) = \Phi_N(f) = \log \alpha$。

实验结果

研究问题

• RQ1 与 $ S_{2k}(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}))$ 上的模形式关系 $\bm{\lambda}$ 相关的高阶 Green 函数 $G_{k,\bm{\lambda}}$ 的 CM 值是否为某个代数数的对数？
• RQ2 seesaw 对偶性与 Borcherds 提升能否被推广至高阶 Green 函数，以证明 CM 值的代数性？
• RQ3 在 $\mathfrak{z}_1, \mathfrak{z}_2$ 位于同一虚二次域中的条件下，什么条件能确保 $G_{k,\bm{\lambda}}$ 的 CM 值属于 $\overline{\mathbb{Q}}^\times$？
• RQ4 微分算子 $R^{k-1}$ 与 theta 提升如何相互作用，以生成具有代数傅里叶系数的模形式？

主要发现

• 当 $\mathfrak{z}_1, \mathfrak{z}_2$ 位于同一虚二次域中时，CM 值 $G_{k,\bm{\lambda}}(\mathfrak{z}_1, \mathfrak{z}_2)$ 等于某个代数数 $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}$ 的对数。
• 高阶 Green 函数 $G_{k,\bm{\lambda}}$ 被实现为 $R^{k-1}(g_{\bm{\lambda}})$ 的 Borcherds theta 提升，其中 $g_{\bm{\lambda}}$ 是权为 $2-2k$ 的弱全纯模形式。
• 格 $N = v^+(\mathfrak{z}_1, \mathfrak{z}_2) \cap M_2(\mathbb{Z})$ 具有符号 $(2,0)$，并定义了一个有理分裂，使得 $N$ 上的模形式得以使用。
• 具有代数傅里叶系数的模形式 $f$ 的 theta 提升 $\Phi_N(f)$ 等于 $\log \alpha$，且该值等于 $G_{k,\bm{\lambda}}(\mathfrak{z}_1, \mathfrak{z}_2)$。
• 证明依赖于 seesaw 对偶性，将 $\Phi_N(f)$ 与具有代数傅里叶系数的亚纯模形式函数的 CM 值关联起来。