[论文解读] Coactions of Hopf $C^*$-algebras on Cuntz-Pimsner algebras

Dong-woon Kim|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文引入了霍普夫 $C^*$-代数在 $C^*$-对应上的共作用，并证明在理想 $J_X$ 的弱 $\delta$-不变性条件下，此类共作用可诱导出关联的库恩茨-平斯纳代数上的共作用。在协变性条件下，本文证明了约化交叉积 $ϴ_X times_ heta \\-widehat{S}$ 与库恩茨-平斯纳代数 $ϴ_{X times_\sigma \\-widehat{S}}$ 之间存在同构，将已知的阿梅尼安群结果推广至任意局部紧致群，并表明在此设定下库恩茨-平斯纳协变性条件是冗余的。

ABSTRACT

Unifying two notions of an action and coaction of a locally compact group on a $C^*$-cor\-re\-spond\-ence we introduce a coaction $(σ,δ)$ of a Hopf $C^*$-algebra $S$ on a $C^*$-cor\-re\-spond\-ence $(X,A)$. We show that this coaction naturally induces a coaction $ζ$ of $S$ on the associated Cuntz-Pimsner algebra $\mathcal{O}_X$ under the weak $δ$-invariancy for the ideal $J_X$. When the Hopf $C^*$-algebra $S$ is defined by a well-behaved multiplicative unitary, we construct a $C^*$-cor\-re\-spond\-ence $(X times_σ\widehat{S},A times_δ\widehat{S})$ from $(σ,δ)$ and show that it has a representation on the reduced crossed product $\mathcal{O}_X times_ζ\widehat{S}$ by the induced coaction $ζ$. This representation is used to prove an isomorphism between the $C^*$-algebra $\mathcal{O}_X times_ζ\widehat{S}$ and the Cuntz-Pimsner algebra $\mathcal{O}_{X times_σ\widehat{S}}$ under the covariance assumption which is guaranteed in particular if the ideal $J_{X times_σ\widehat{S}}$ of $A times_δ\widehat{S}$ is generated by the canonical image of $J_X$ in $M(A times_δ\widehat{S})$ or the left action on $X$ by $A$ is injective. Under this covariance assumption, our results extend the isomorphism result known for actions of amenable groups to arbitrary locally compact groups. The Cuntz-Pimsner covariance condition which was assumed for the same isomorphism result concerning group coactions is shown to be redundant.

研究动机与目标

• 通过引入霍普夫 $C^*$-代数在 $C^*$-对应上的共作用，统一群作用与共作用的概念。
• 在理想 $J_X$ 的弱 $\delta$-不变性条件下，证明此类共作用可诱导出关联的库恩茨-平斯纳代数上的共作用。
• 从共作用 $(\sigma,\delta)$ 构造 $C^*$-对应 $(X\rtimes_\sigma \widehat{S}, A\rtimes_\delta \widehat{S})$，并证明其表示约化交叉积 $\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S}$。
• 在协变性假设下，证明同构 $\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S} \cong \mathcal{O}_{X\rtimes_\sigma \widehat{S}}$，将先前针对阿梅尼安群的结果推广至任意局部紧致群。
• 表明在此设定下，库恩茨-平斯纳协变性条件是冗余的，从而简化了同构判据。

提出的方法

• 引入霍普夫 $C^*$-代数 $S$ 在 $C^*$-对应 $(X,A)$ 上的共作用 $(\sigma,\delta)$，使其与希尔伯特模结构及 $A$ 在 $X$ 上的左作用相容。
• 利用 $J_X$ 的弱 $\delta$-不变性，定义 $C^*$-代数 $\mathcal{O}_X$ 上的诱导共作用 $\zeta$。
• 对于由可管理乘法单位元导出的霍普夫 $C^*$-代数 $S$，构造交叉积对应 $(X\rtimes_\sigma \widehat{S}, A\rtimes_\delta \widehat{S})$。
• 通过诱导共作用 $\zeta$，在约化交叉积 $\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S}$ 上建立 $(X\rtimes_\sigma \widehat{S}, A\rtimes_\delta \widehat{S})$ 的表示。
• 在协变性假设下，证明该表示是 $\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S}$ 与 $\mathcal{O}_{X\rtimes_\sigma \widehat{S}}$ 之间的同构。
• 证明若 $J_{X\rtimes_\sigma \widehat{S}}$ 由 $J_X$ 在 $M(A\rtimes_\delta \widehat{S})$ 中的像生成，或若 $A$ 在 $X$ 上的左作用是单射，则协变性假设成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以以统一群作用与共作用的方式，定义霍普夫 $C^*$-代数在 $C^*$-对应上的共作用？
• RQ2 此类共作用是否自然诱导出关联的库恩茨-平斯纳代数 $\mathcal{O}_X$ 上的共作用？
• RQ3 在适当的协变性条件下，约化交叉积 $\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S}$ 与库恩茨-平斯纳代数 $\mathcal{O}_{X\rtimes_\sigma \widehat{S}}$ 之间是否存在同构？
• RQ4 能否利用此框架将同构结果从阿梅尼安群推广至任意局部紧致群？
• RQ5 库恩茨-平斯纳协变性条件是否必要？能否在此设定下证明其为冗余？

主要发现

• 在 $J_X$ 的弱 $\delta$-不变性条件下，霍普夫 $C^*$-代数 $S$ 在 $C^*$-对应 $(X,A)$ 上的共作用 $(\sigma,\delta)$ 可诱导出 $\mathcal{O}_X$ 上的共作用 $\zeta$。
• 对于由可管理乘法单位元导出的霍普夫 $C^*$-代数 $S$，构造了交叉积对应 $(X\rtimes_\sigma \widehat{S}, A\rtimes_\delta \widehat{S})$，并证明其在 $\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S}$ 上具有表示。
• 在协变性假设下，建立了同构 $\mathcal{O}_X \rtimes_\zeta \widehat{S} \cong \mathcal{O}_{X\rtimes_\sigma \widehat{S}}$，该假设在 $J_{X\rtimes_\sigma \widehat{S}}$ 由 $J_X$ 在 $M(A\rtimes_\delta \widehat{S})$ 中的像生成时成立。
• 该同构结果将已知的阿梅尼安群情形下的同构推广至任意局部紧致群，显著扩展了构造的适用范围。
• 本文表明在此设定下，库恩茨-平斯纳协变性条件是冗余的，从而简化了同构判据。
• 该框架将先前关于群作用与共作用在 $C^*$-对应上的结果推广至霍普夫 $C^*$-代数共作用的设定。