[论文解读] $β$-coalescents and stable Galton-Watson trees

Romain Abraham, Jean‐François Delmas|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 44被引用 8

一句话总结

本文建立了 $β(1+\alpha,1-\alpha)$-君主过程与具有 $n$ 个标记叶节点的稳定 Galton-Watson 树的剪枝之间的联系，表明此类树上的离散剪枝过程可生成 $β$-君主动态。关键结果是，在无限方差的稳定 Galton-Watson 树中，隔离根节点所需的剪枝次数，其渐近分布与 $β$-君主过程中的共轭事件次数一致，最终共轭事件中块大小的极限分布通过收敛至连续 Lévy 树得以推导。

ABSTRACT

Representation of coalescent process using pruning of trees has been used by Goldschmidt and Martin for the Bolthausen-Sznitman coalescent and by Abraham and Delmas for the $β(3/2,1/2)$-coalescent. By considering a pruning procedure on stable Galton-Watson tree with $n$ labeled leaves, we give a representation of the discrete $β(1+α,1-α)$-coalescent, with $α\in [1/2,1)$ starting from the trivial partition of the $n$ first integers. The construction can also be made directly on the stable continuum L{é}vy tree, with parameter $1/α$, simultaneously for all $n$. This representation allows to use results on the asymptotic number of coalescence events to get the asymptotic number of cuts in stable Galton-Watson tree (with infinite variance for the reproduction law) needed to isolate the root. Using convergence of the stable Galton-Watson tree conditioned to have infinitely many leaves, one can get the asymptotic distribution of blocks in the last coalescence event in the $β(1+α,1-α)$-coalescent.

研究动机与目标

• 在 $\alpha \in [1/2,1)$ 时，建立一种在具有 $n$ 个标记叶节点的稳定 Galton-Watson 树上的离散剪枝程序，使其生成 $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-君主过程。
• 将隔离稳定 Galton-Watson 树根节点所需的剪枝次数与 $β$-君主过程中的共轭事件次数联系起来。
• 通过收敛至稳定连续 Lévy 树，推导 $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-君主过程最终共轭事件中块大小的渐近分布。
• 通过节点剪枝提供 $β$-君主过程的表示形式，扩展了关于递归或二叉树均匀剪枝的先前结果。

提出的方法

• 在具有后代生成函数 $g(r) = r + \alpha(1-r)^{1/\alpha}$ 的临界 Galton-Watson 树上定义剪枝程序，其中内部节点被选中的概率与其子树大小减一成比例，即 $k_x(T)-1$。
• 通过移除所选节点的叶枝子树，并将新生成的叶节点重新标记为原始叶节点标签的集合，迭代执行剪枝过程。
• 证明所得离散过程 $\Pi_{\text{GW}}^{[n]}$ 遵循 $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-君主过程，其共轭测度为 $\Lambda(dx) = \left(\frac{x}{1-x}\right)^\alpha dx$。
• 通过索引为 $1/\alpha$ 的稳定 Lévy 树，将构造扩展至连续设置，从而对所有 $n$ 实现同时表示。
• 通过条件稳定 Galton-Watson 树收敛至连续 Lévy 树，推导渐近结果，使共轭与根隔离的极限分析成为可能。
• 利用生成函数技术与大小加权大小加权分布（如 Kesten 树），计算最终共轭事件中块数的生成函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有 $n$ 个标记叶节点的离散稳定 Galton-Watson 树上，通过剪枝程序重现 $\alpha \in [1/2,1)$ 时的 $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-君主过程？
• RQ2 在具有无限方差后代分布的稳定 Galton-Watson 树中，隔离根节点所需的剪枝次数的渐近分布是什么？
• RQ3 从剪枝过程的连续极限中，$\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-君主过程最终共轭事件中块大小的分布如何出现？
• RQ4 在 $β$-君主过程中，共轭事件的次数与对应 Galton-Watson 树中剪枝次数之间存在何种联系？

主要发现

• 在具有 $n$ 个标记叶节点的稳定 Galton-Watson 树上，剪枝过程在 $\mathbf{P}_n$ 下生成 $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-君主过程，其共轭测度为 $\Lambda(dx) = \left(\frac{x}{1-x}\right)^\alpha dx$。
• 在具有无限方差后代分布的稳定 Galton-Watson 树中，隔离根节点所需的剪枝次数的渐近分布，与 $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-君主过程中的共轭事件次数的渐近分布一致。
• 通过稳定 Lévy 树上剪枝过程的连续极限，推导出 $\beta(1+\alpha,1-\alpha)$-君主过程最终共轭事件中块数的极限分布。
• 最终共轭事件中块数的生成函数被证明为 $\varphi_\alpha(r)$，该函数通过大小加权和条件 Galton-Watson 树构造推导得出。
• 条件稳定 Galton-Watson 树收敛至稳定连续 Lévy 树，使得离散剪枝动态可被转移到连续设置，且对所有 $n$ 均成立。
• 分析结果表明，离散树中隔离根节点所需的剪枝次数在分布上收敛至 $β$-君主过程中的共轭事件次数，其极限分布由生成函数 $\varphi_\alpha(r)$ 所刻画。