[论文解读] Cocenters of $p$-adic groups, I: Newton decomposition

Xuhua He|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文引入了 $p$-进李群的牛顿分解，提供了对 Hecke 代数余中心的典范分解，将其划分为牛顿层。文中为每个牛顿分量建立了 Iwahori-Matsumoto 型生成元，并证明了关于普通与扭曲不变分布的广义 Howe 猜想，给出了刚性余中心的显式结构。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the Newton decomposition on a connected reductive $p$-adic group $G$. Based on it we give a nice decomposition of the cocenter of its Hecke algebra. Here we consider both the ordinary cocenter associated to the usual conjugation action on $G$ and the twisted cocenter arising from the theory of twisted endoscopy. We give Iwahori-Matsumoto type generators on the Newton components of the cocenter. Based on it, we prove a generalization of Howe's conjecture on the restriction of (both ordinary and twisted) invariant distributions. Finally we give an explicit description of the structure of the rigid cocenter.

研究动机与目标

• 理解 $p$-进李群的 Hecke 代数余中心的结构，特别是其在 $\mathbb{Z}[p^{-1}]$ 上的整数形式。
• 通过扭曲内形对，将余中心与表示之间的对偶性推广到扭曲情形。
• 提供一种余中心的牛顿层分解，该分解同时尊重共轭作用与紧支集性质。
• 为通过 Hecke 代数的整数形式研究模-$l$ 表示建立一个框架。
• 给出刚性余中心及其通过牛顿分量的显式描述。

提出的方法

• 将 $p$-进李群 $G$ 的牛顿分解定义为不交并 $G = \coprod_{\nu} G(\nu)$，其中每个 $G(\nu)$ 是某个开紧致子集 $X_\nu$ 的 $G$-轨道。
• 定义 Hecke 代数 $H$ 及其余中心 $\bar{H}$，并利用牛顿分解证明 $H = \bigoplus_\nu H(\nu)$ 与 $\bar{H} = \bigoplus_\nu \bar{H}(\nu)$。
• 使用 Iwahori-Matsumoto 型生成元描述每个牛顿分量 $\bar{H}(\nu)$ 中的元素，特别针对同余子群 $\mathcal{I}_n$。
• 通过 $\theta$-扭曲共轭类与 $\theta$-不变分布分析扭曲余中心，重点关注群的刚性部分。
• 通过标准对 $(\mathcal{P}, \tau)$ 构造 $\theta$-不变分布空间的有限维模型，并在参数集 $A$ 中通过方程定义关系。
• 证明对偶映射的核由换位子 $[H_R(\mathcal{P}), H_R(\mathcal{P}\dot{\tau})]_{\theta,\omega}$ 与集合 $A$ 中的关系张成。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以一种同时尊重共轭作用与紧支集的方式，对 $p$-进李群 Hecke 代数的余中心进行分解？
• RQ2 由内形转移产生的扭曲余中心的结构是什么？它与不变分布有何关系？
• RQ3 是否可以使用 Iwahori-Matsumoto 型生成元来描述余中心的牛顿分量？
• RQ4 刚性余中心在牛顿层分解下如何分解？其不变分布的对偶空间是什么？
• RQ5 在 $G$ 的刚性部分的 $\theta$-稳定子集上，$\theta$-不变分布空间的定义关系是什么？

主要发现

• Hecke 代数的余中心 $\bar{H}$ 具有基于牛顿点 $\nu$ 的典范分解 $\bar{H} = \bigoplus_\nu \bar{H}(\nu)$，其中每个 $\bar{H}(\nu)$ 对应于一个牛顿层 $G(\nu)$。
• 对于同余子群 $\mathcal{I}_n$，余中心 $\bar{H}(G, \mathcal{I}_n)$ 同样具有牛顿分解 $\bar{H}(G, \mathcal{I}_n) = \bigoplus_\nu \bar{H}(G, \mathcal{I}_n; \nu)$，尽管这些层在 $\mathcal{I}_n$ 作用下不保持稳定。
• $G$ 的刚性部分上的 $\theta$-不变分布空间分解为 $J(G)_{\text{rig}} = J(G)_{\text{rig}}^0 \oplus J(G)_{\text{rig}}^1$，其中 $J(G)_{\text{rig}}^0$ 与刚性余中心的 $\theta$-不变部分对偶。
• $\bar{H}_R^{\text{rig}}$ 到 $J(G)_{\text{rig}}$ 的对偶映射的核由换位子 $[H_R(\mathcal{P}), H_R(\mathcal{P}\dot{\tau})]_{\theta,\omega} \cap H_R(\mathcal{P}\dot{\tau}, \mathcal{I}_n)$ 与一个有限集 $A$ 中的关系张成。
• $J(G)_{\text{rig}}^0$ 到 $\bigoplus_{(\mathcal{P},\tau)\in\text{StP}_0} H_R(\mathcal{P}\dot{\tau}, \mathcal{I}_n)$ 的限制映射的像，等于 $\bigoplus_{(\mathcal{P},\tau)\in\text{StP}_0} H_R(\mathcal{P}\dot{\tau}, \mathcal{I}_n)$ 在 $\bar{H}_R^{\text{rig}}$ 中的像的对偶。
• 广义 Howe 猜想成立：$G$ 上的 $\theta$-不变分布空间同构于刚性余中心的 $\theta$-不变部分的对偶，其关系由有限集 $A$ 显式定义。