[论文解读] Cocenters and representations of affine $0$-Hecke algebras

Xuhua He, Sian Nie|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 32被引用 6

一句话总结

本文通过余中心与迹映射，为仿射 0-Hecke 代数的奇异表示建立了一个新判据。证明了虚拟模是奇异的，当且仅当其特征在余中心的非奇异部分上消失，从而提供了新的刻画方式，并通过抛物诱导与最小长度共轭代表元的循环移位类，构建了格罗滕迪克群的一组基。

ABSTRACT

In this paper, we study the relation between the cocenter $\overline{ ilde \ch_0}$ and the finite dimensional representations of an affine $0$-Hecke algebra $ ilde \ch_0$. As a consequence, we obtain a new criterion on the supersingular modules: a (virtual) module of $ ilde \ch_0$ is supersingular if and only if its character vanishes on the non-supersingular part of $\overline{ ilde \ch_0}$.

研究动机与目标

• 理解代数闭域上仿射 0-Hecke 代数的有限维表示结构。
• 阐明余中心在分类奇异模中的作用。
• 利用迹映射与余中心分解，建立奇异模的新刻画。
• 通过抛物诱导与循环移位类，构建有限维表示格罗滕迪克群的一组基。
• 将 q-Hecke 代数情形的结果推广至 0-Hecke 代数设定，特别是在模表示理论背景下。

提出的方法

• 通过由仿射 Weyl 群共轭类中最小长度代表元构成的集合 $\tilde{W}_{\min}$ 所确定的循环移位类 $\Sigma \in \mathrm{Cyc}(\tilde{W}_{\min})$，研究余中心 $\overline{\tilde{\mathcal{H}}_0}$ 的 $\mathbb{Z}$-基。
• 利用迹映射 $\mathrm{Tr}: \overline{\tilde{\mathcal{H}}_0} \to R(\tilde{\mathcal{H}}_0)_{\mathbf{k}}^*$，将余中心元素与有限维表示的特征联系起来。
• 应用抛物诱导，将迹映射的研究约化为与抛物子群相关的有限 0-Hecke 代数。
• 通过从抛物子代数的单模诱导得到的模 $\pi_{F_0,\Gamma,\chi}$，构造格罗滕迪克群 $R(\tilde{\mathcal{H}}_0)_{\mathbf{k}}$ 的一组基。
• 利用 $\tilde{\mathcal{H}}_0$ 上的对合 $\iota$，关联 $T_\Sigma$ 与 ${}^\iota T_\Sigma$，从而在迹消失条件中实现对称性。
• 将非奇异部分 $\overline{\tilde{\mathcal{H}}_0}^{nss}$ 定义为所有满足 $\Sigma$ 不包含于任何真抛物子群的 $T_\Sigma$ 与 ${}^\iota T_\Sigma$ 的张量空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 仿射 0-Hecke 代数的余中心结构如何？其参数化方式为何？
• RQ2 从余中心到格罗滕迪克群对偶的迹映射，如何与表示分类相关联？
• RQ3 能否仅通过余中心与迹配对来刻画奇异条件？
• RQ4 抛物诱导与循环移位类在构造格罗滕迪克群基中起什么作用？
• RQ5 对合 $\iota$ 如何影响迹映射与余中心的分解？

主要发现

• 余中心 $\overline{\tilde{\mathcal{H}}_0}$ 拥有一个由循环移位类 $\Sigma \in \mathrm{Cyc}(\tilde{W}_{\min})$ 索引的 $\mathbb{Z}$-基，其中 $\tilde{W}_{\min}$ 是仿射 Weyl 群共轭类中最小长度代表元的集合。
• 格罗滕迪克群 $R(\tilde{\mathcal{H}}_0)_{\mathbf{k}}$ 拥有一个由模 $\pi_{F_0,\Gamma,\chi}$ 构成的 $\mathbb{Z}$-基，这些模通过从抛物子代数的单模进行抛物诱导构造而成。
• 建立了一个新判据：虚拟模 $\pi \in R(\tilde{\mathcal{H}}_0)_{\mathbf{k}}$ 是奇异的，当且仅当对所有 $h \in \overline{\tilde{\mathcal{H}}_0}^{nss}$，有 $\mathrm{Tr}(h, \pi) = 0$，其中 $\overline{\tilde{\mathcal{H}}_0}^{nss}$ 是余中心的非奇异部分。
• 非奇异部分 $\overline{\tilde{\mathcal{H}}_0}^{nss}$ 定义为所有满足 $\Sigma$ 不包含于任何真抛物子群的 $T_\Sigma$ 与 ${}^\iota T_\Sigma$ 的张量空间。
• 证明了迹消失条件与标准奇异性的定义（即对所有 $\ell(\tilde{w}) \gg 0$，有 $E_{\tilde{w}}M = 0$）之间的等价性，从而提供了一个新的概念框架。
• 通过余中心与迹映射，重新推导了简单奇异模的分类，相较于以往基于 Bernstein 表示与 Satake 同构的方法，提供了新的视角。