[论文解读] Codimension one foliations with trivial canonical class on singular spaces II

Stéphane Druel, Wenhao Ou|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用 6

一句话总结

该论文对具有 klt 奇点的复射影流形上具有典范奇点和数值平凡典范类的余维一叶状结构进行了分类，证明其要么来自曲线的拉回，要么来自交换代数群的群型紧化。关键结果表明此类叶状结构是代数可积的，且其典范类为挠类，将极小模型程序推广至数值维数为零的叶状三叉，拓展了叶状三叉的极小模型程序.

ABSTRACT

In this article, we give the structure of codimension one foliations with canonical singularities and numerically trivial canonical class on varieties with klt singularities. Building on recent works of Spicer, Cascini - Spicer and Spicer - Svaldi, we then describe the birational geometry of rank two foliations with canonical singularities and canonical class of numerical dimension zero on complex projective threefolds.

研究动机与目标

• 对具有 klt 奇点的复射影流形上具有典范奇点和数值平凡典范类的余维一叶状结构进行分类。
• 将叶状结构的双有理分类推广至 klt 奇点情形，克服先前在典范奇点下结果的局限性。
• 通过证明典范类为挠类，建立此类叶状结构的丰沛猜想。
• 描述复射影三叉上具有典范奇点和数值维数为零的秩二叶状结构的双有理几何。
• 利用拟 étale 覆盖和叶状结构拉回，将光滑和典范奇点情形的结果推广至更广泛的 klt 类别。

提出的方法

• 使用拟 étale 覆盖将问题约化为具有典范奇点的流形，同时保持叶状结构和典范类的数值平凡性。
• 应用叶状极小模型程序，将三叉上秩二叶状结构的研究约化为具有数值平凡典范类的极小模型。
• 将 Baum-Bott 和 Camacho-Sad 公式推广至具有 klt 奇点的曲面，以分析叶状结构奇点。
• 利用由闭有理 1-形式与平坦线丛定义的叶状结构，分析非代数可积的情形。
• 利用 Ekedahl-Shepherd-Barron-Taylor 猜想和对数典范对偶对，控制覆盖中的纤维不可约性和分歧性。
• 应用交换代数群的等变紧化理论，对基上群型叶状结构进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有典范奇点和数值平凡典范类的余维一叶状结构在 klt 流形上的结构是怎样的？
• RQ2 此类叶状结构的丰沛猜想是否成立，即典范类是否为挠类？
• RQ3 在三叉上具有典范奇点和数值维数为零的秩二叶状结构，在极小模型程序下的双有理几何如何分解？
• RQ4 由闭有理 1-形式与平坦线丛定义的叶状结构能否在 klt 情形下进行分类？
• RQ5 拟 étale 覆盖在解决叶状结构奇点和保持典范类性质方面起什么作用？

主要发现

• 在具有 klt 奇点的流形上，具有典范奇点和数值平凡典范类的余维一叶状结构，要么来自曲线的拉回，要么来自交换代数群的群型紧化。
• 此类叶状结构的典范类为挠类，证实了该情形下丰沛猜想的成立。
• 对于具有典范奇点和数值维数为零的复射影三叉上秩二叶状结构，经极小模型程序后其典范类为数值平凡。
• 该分类包含两种情形：一种是叶状结构通过拟 étale 覆盖从曲线拉回；另一种是其来源于交换代数群的等变紧化中的一维李子群。
• 将 Baum-Bott 和 Camacho-Sad 公式推广至 klt 曲面，使得在奇点情形下也能分析叶状结构奇点。
• 利用拟 étale 覆盖和对数典范对，确保叶状结构在双有理变换下拉回后仍保持良好性质。