[论文解读] Coefficient systems and supersingular representations of $GL_2(F)$

Vytautas Paškūnas|ArXiv.org|Mar 15, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 35

一句话总结

该论文通过在Bruhat-Tits树上的系数系统与同调，构造了$ q(q-1)/2 $对两两非同构、不可约、超奇异、可接受的$ \mathrm{GL}_2(F) $表示，其定义在$ \overline{\mathbf{F}}_p $上，具有平凡的$ \varpi_F $-作用与中心特征。当$ F = \mathbf{Q}_p $时，该构造给出了所有此类超奇异表示（模上无挠特征的扭），支持了模$ p $的Langlands型对应关系。

ABSTRACT

Let $F$ be a non-Archimedean local field with the residual characteristic $p$. We construct a "good" number of smooth irreducible $\bar{\mathbf{F}}_p$-representations of $GL_2(F)$, which are supersingular in the sense of Barthel and Livné. If $F=\mathbf{Q}_p$ then results of Breuil imply that our construction gives all the supersingular representations up to the twist by an unramified quasi-character. We conjecture this is true for arbitrary $F$.

研究动机与目标

• 构造$ \mathrm{GL}_2(F) $在$ \overline{\mathbf{F}}_p $上的新一族不可约超奇异光滑表示，其中$ F $是非阿基米德局部域，残数特征为$ p $。
• 将Breuil在$ \mathbf{Q}_p $上对超奇异表示的分类推广至一般$ F $，并猜想模$ p $的Langlands型对应关系。
• 通过$ G $-等变系数系统在Bruhat-Tits树上的作用及其同调，建立这些表示的几何构造。
• 证明所构造表示的$ I_1 $-不变子模可恢复为超奇异$ \mathcal{H} $-模，从而将表示理论与Hecke代数联系起来。

提出的方法

• 在$ \mathrm{PGL}_2(F) $的Bruhat-Tits树$ X $上构造$ G $-等变系数系统$ \mathcal{V}_\gamma $与$ \mathcal{I}_\gamma $，其中$ \gamma = \{ \chi, \chi^s \} $，$ \chi $遍历$ F^\times $的取值于$ \overline{\mathbf{F}}_p^\times $的特征，且满足$ \chi^s \neq \chi $。
• 利用零阶同调函子$ H_0(X, -) $，从这些系数系统生成光滑的$ G $-表示。
• 为$ \Gamma = \mathrm{GL}_2(\mathbf{F}_q) $的$ \mathcal{H}_{\Gamma} $-模定义内射包络，并将其上延至$ X $上的$ G $-等变图，确保与$ G $-作用相容。
• 构造系数系统之间的态射$ \mathcal{V}_\gamma \to \mathcal{I}_\gamma $，诱导同调上的同态，其像$ \pi_\gamma = \mathrm{Im}(H_0(X,\mathcal{V}_\gamma) \to H_0(X,\mathcal{I}_\gamma)) $为不可约且超奇异。
• 通过分析$ H_0(X,\mathcal{V}_\gamma) $上的作用，证明$ \pi\_\gamma $是可接受的，具有中心特征，且$ \varpi_F $作用平凡。
• 证明不同$ \mathcal{H} $-模导出不同构的$ \pi_\gamma $，且当$ F = \mathbf{Q}_p $时，该构造恢复了所有超奇异表示（模上无挠特征的扭）。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对任意$ F $，构造出$ q(q-1)/2 $对两两非同构的不可约超奇异可接受表示，其定义在$ \overline{\mathbf{F}}_p $上，且具有平凡的$ \varpi_F $-作用与中心特征？
• RQ2 该构造是否在$ F = \mathbf{Q}_p $时，能恢复所有超奇异表示（模上无挠特征的扭）？
• RQ3 在Bruhat-Tits树上的系数系统及其同调如何与$ I_1 $-不变子模及Hecke代数$ \mathcal{H} $相关联？
• RQ4 是否存在通过$ X $上的$ G $-等变图对超奇异$ \mathcal{H} $-模的几何实现，从而导出不可约$ G $-表示？
• RQ5 能否识别$ \pi_\gamma^{I_1} $的$ \mathcal{H} $-模结构为超奇异模，从而确保表示为超奇异？

主要发现

• 该构造至少产生了$ q(q-1)/2 $对两两非同构、不可约、超奇异、可接受的$ \mathrm{GL}_2(F) $表示，其定义在$ \overline{\mathbf{F}}_p $上，且具有平凡的$ \varpi_F $-作用与中心特征。
• 当$ F = \mathbf{Q}_p $时，所构造的表示$ \pi_\gamma $独立于辅助选择，并穷尽了所有超奇异表示（模上无挠特征的扭）。
• 每个$ \pi_\gamma $均为同调同态$ H_0(X,\mathcal{V}_\gamma) \to H_0(X,\mathcal{I}_\gamma) $的像，且为可接受、不可约、超奇异。
• $ I_1 $-不变子模$ \pi_\gamma^{I_1} $包含一个超奇异$ \mathcal{H} $-模，从而确认了$ \pi_\gamma $的超奇异性质。
• 当$ F = \mathbf{Q}_p $时，此类表示的同构类数量与Breuil的分类一致，表明在此情况下构造是完备的。
• 表示$ \pi_\gamma $同构于$ \pi_{\gamma'} \otimes (\mu_\lambda \circ \det) $当且仅当$ \gamma = \gamma' $且$ \lambda $在符号意义下唯一，表明分类具有唯一性。