[论文解读] Cofinitary Groups and Other Almost Disjoint Families of Reals

Bart Kastermans|ArXiv.org|Oct 1, 2009

Advanced Topology and Set Theory参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文在策梅洛-弗兰克尔集合论框架下研究了集合论中的共有限群与实数的几乎不相交族，聚焦于在各种集合论假设下极大几乎不相交（MAD）族的存在性与性质。研究证明，在ZFC中，存在任意正则不可数基数（小于连续统）的ℕ子集的MAD族，并通过力迫与递归构造技术，编码模型到置换中，证明了在几乎不相交性下极大化的共有限群的存在性。

ABSTRACT

We study two different types of (maximal) almost disjoint families: very mad families and (maximal) cofinitary groups. For the very mad families we prove the basic existence results. We prove that MA implies there exist many pairwise orthogonal families, and that CH implies that for any very mad family there is one orthogonal to it. Finally we prove that the axiom of constructibility implies that there exists a coanalytic very mad family. Cofinitary groups have a natural action on the natural numbers. We prove that a maximal cofinitary group cannot have infinitely many orbits under this action, but can have any combination of any finite number of finite orbits and any finite (but nonzero) number of infinite orbits. We also prove that there exists a maximal cofinitary group into which each countable group embeds. This gives an example of a maximal cofinitary group that is not a free group. We start the investigation into which groups have cofinitary actions. The main result there is that it is consistent that $\bigoplus_{α\in \aleph_1} \mathbb{Z}_2$ has a cofinitary action. Concerning the complexity of maximal cofinitary groups we prove that they cannot be $K_σ$, but that the axiom of constructibility implies that there exists a coanalytic maximal cofinitary group. We prove that the least cardinality $\mathfrak{a}_g$ of a maximal cofinitary group can consistently be less than the cofinality of the symmetric group. Finally we prove that $\mathfrak{a}_g$ can consistently be bigger than all cardinals in Cichoń's diagram.

研究动机与目标

• 在不同集合论公理下，研究ℕ子集的极大几乎不相交（MAD）族的存在性与结构。
• 探讨共有限群作为具有群结构的几乎不相族的特殊类别。
• 确定在各种基数下MAD族的一致性，特别是小于连续统的正则不可数基数。
• 发展递归构造技术，将模型编码进置换中，同时保持几乎不相交性与共有限性。
• 确立在几乎不相交性序下极大化的共有限群的存在性。

提出的方法

• 使用佐恩引理在ZFC中建立MAD族的存在性，附加约束以确保其极大性。
• 应用力迫扩张以保持基数与连续统不变，同时构造指定基数的MAD族。
• 采用部分置换 g: ℕ → ℕ 的递归构造，确保 g 为共有限置换（即无有限循环），且对给定族中所有 f 满足 f ∩ g 为无限集。
• 实施四阶段构造过程：定义域扩展、值域扩展、命中 f、编码，每一步均使用引理确保仅有限多个例外的优良扩展。
• 通过群 G 中的词 w_i 进行编码，将良基模型编码进置换 g，通过限制定义域与值域以避免冲突。
• 应用定义域扩展与值域扩展引理，确保 g 的扩展相对于所有词 w_i 均为优良，仅排除有限多个选择。

实验结果

研究问题

• RQ1 在小于连续统的任意正则不可数基数下，ℕ子集的MAD族是否可能存在？若存在，需何种集合论假设？
• RQ2 共有限群与实数的几乎不相族之间有何关系？此类群是否可在几乎不相交性序下极大化？
• RQ3 如何利用递归构造将良基模型编码进置换中，同时保持共有限性与几乎不相交性？
• RQ4 力迫在保持基数结构的同时，如何用于构造任意正则不可数大小（小于连续统）的MAD族？
• RQ5 在何种条件下，一组置换可同时为共有限且在几乎不相交性下极大？

主要发现

• 在ZFC + CH的模型中，存在一个ℕ子集的MAD族，即使在任意Cohen扩张后仍保持极大性。
• 存在一个保持基数与连续统的力迫扩张，使得对任意正则不可数基数 κ < 2^ℵ₀，均存在大小为 κ 的ℕ子集的MAD族。
• 任何可数个无限ℕ子集的族均无法是极大几乎不相交族，从而确立了基数不变量 𝔞 为不可数。
• 通过递归构造编码模型进其结构的置换，确立了在几乎不相交性序下极大化的共有限群的存在性。
• 公式 φ_G₀(g) ∨ ∃(m,ε)[wellfounded model encoded in g ∧ ∀⟨Eω,r,u⟩ φ(⟨Eω,r,u⟩,g) → r(⌜u∈𝒜⌝,∅̲)=1] 被证明为 Π¹₁，确认了此类群中成员关系的可定义性。
• 编码过程确保对每个词 w_i，置换 g 均以保持几乎不相交性与共有限行为的方式编码关于模型的信息。