[论文解读] Coframe geometry and gravity

Yakov Itin|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文通过在n维流形上构建一类完整的线性共标架联络，提出了共标架引力的几何形式化，实现了仅基于共标架场的引力模型几何化。关键贡献在于引入一种广义的爱因斯坦-希尔伯特作用量，其基于一般共标架联络，所得标量曲率与标准共标架拉格朗日量在全微分项意义下等价；其中一类子类联络不产生高阶导数项，且与标准模型完全等价。

ABSTRACT

The possible extensions of GR for description of fermions on a curved space, for supergravity and for loop quantum gravity require a richer set of 16 independent variables. These variables can be assembled in a coframe field, i.e., a local set of four linearly independent 1-forms. In the ordinary formulation, the coframe gravity does not have any connection to a specific geometry even being constructed from the geometrical meaningful objects. A geometrization of the coframe gravity is an aim of this paper. We construct a complete class of the coframe connections which are linear in the first order derivatives of the coframe field on an $n$ dimensional manifolds with and without a metric. The subclasses of the torsion-free, metric-compatible and flat connections are derived. We also study the behavior of the geometrical structures under local transformations of the coframe. The remarkable fact is an existence of a subclass of connections which are invariant when the infinitesimal transformations satisfy the Maxwell-like system of equations. In the framework of the coframe geometry construction, we propose a geometrical action for the coframe gravity. It is similar to the Einstein-Hilbert action of GR, but the scalar curvature is constructed from the general coframe connection. We show that this geometric Lagrangian is equivalent to the coframe Lagrangian up to a total derivative term. Moreover there is a family of coframe connections which Lagrangian does not include the higher order terms at all. In this case, the equivalence is complete.

研究动机与目标

• 为解决共标架引力模型中缺乏几何结构的问题，这些模型原本依赖于无内在几何意义的物理拉格朗日量。
• 在具有或不具有度量的n维流形上，构建一类完整的、关于共标架场一阶导数线性的共标架联络。
• 识别出无挠率、度量相容或平坦的联络子类，并分析其几何与物理性质。
• 建立一个类似于广义相对论中爱因斯坦-希尔伯特作用量的共标架引力几何作用量，确保其与标准共标架拉格朗日量在全微分项意义下等价。
• 识别出在满足麦克斯韦型方程组的无穷小变换下不变的联络子类，暗示其具有更深层的几何与物理意义。

提出的方法

• 在n维流形上构建一类关于共标架场一阶导数线性的通用共标架联络。
• 推导共标架联络的挠率张量与非度量张量，并确定无挠率与度量相容联络的条件。
• 利用由通用共标架联络构造的标量曲率，引入广义爱因斯坦-希尔伯特拉格朗日量。
• 证明几何拉格朗日量与标准共标架拉格朗日量在全微分项意义下等价。
• 识别出一类共标架联络，其拉格朗日量不包含高阶导数项，从而确保与标准模型的完全等价。
• 分析几何结构在局部共标架变换下的行为，并识别出满足麦克斯韦型方程组的变换下不变的子类。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅从共标架场本身构建一致的几何结构，而无需依赖度量或预定义的联络？
• RQ2 在具有或不具有度量的流形上，可以定义哪些完整的线性共标架联络类？它们的曲率、挠率与非度量性分别为何？
• RQ3 如何构建一个与广义相对论中爱因斯坦-希尔伯特作用量类比的共标架引力几何作用量？
• RQ4 在何种条件下，几何拉格朗日量与标准共标架拉格朗日量等价？何时高阶导数项会消失？
• RQ5 是否存在一类共标架联络，在满足麦克斯韦型方程组的局部变换下保持不变？这对其底层几何意味着什么？

主要发现

• 在具有或不具有度量的n维流形上，成功构建了一类关于共标架场一阶导数线性的完整共标架联络。
• 从通用构造中导出了无挠率、度量相容与平坦联络的子类，提供了几何一致性条件。
• 证明了基于通用共标架联络的广义爱因斯坦-希尔伯特拉格朗日量与标准共标架拉格朗日量在全微分项意义下等价。
• 存在一类特定的共标架联络，其几何拉格朗日量不包含高阶导数项，从而确保与标准模型的完全等价。
• 识别出一类在满足麦克斯韦型方程组的局部变换下不变的联络子类，表明其具有深层几何与可能的物理对称性。
• 该模型可导出可行的史瓦西解，并给出明确定义的引力能量张量，解决了标准广义相对论的关键局限。