[论文解读] Cofree compositions of coalgebras (extended abstract)

Stefan Forcey, Aaron Lauve+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文引入了分次余代数的函子性复合构造，证明两个余自由余代数的复合本身也是余自由的。文章建立了复合形成单边霍普夫代数的充分条件，特别是当其中一个分量为分次霍普夫操作代数且另一个映射到它时；这为多乘形、复合多面体和超立方体等组合对象提供了新的霍普夫结构，并通过显式同构表明，单形的霍普夫代数作为余代数是余自由的。

ABSTRACT

We develop the notion of the composition of two coalgebras, which arises naturally in higher category theory and the theory of species. We prove that the composition of two cofree coalgebras is cofree and give conditions which imply that the composition is a one-sided Hopf algebra. These conditions hold when one coalgebra is a graded Hopf operad D and the other is a connected graded coalgebra with coalgebra map to D. We conclude by discussing these structures for compositions with bases the vertices of multiplihedra, composihedra, and hypercubes.

研究动机与目标

• 为分次余代数定义一种复合运算，以推广高阶范畴论和范畴理论中的构造。
• 证明两个余自由余代数的复合仍为余自由，扩展了关于树与排列的霍普夫代数的已知结果。
• 识别出复合形成单边霍普夫代数的充分条件，特别是当其中一个因子为分次霍普夫操作代数时。
• 将该构造应用于几何与组合对象，如多乘形、复合多面体和超立方体，将代数结构与多面体顶点联系起来。
• 通过显式同构证明，Forcery与Springfield（2010）定义的单形的单边霍普夫代数作为余代数是余自由的。

提出的方法

• 本文为分次余代数 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 定义了复合函子 $\mathcal{D} \circ \mathcal{C}$，推广了操作代数-模结构。
• 证明若 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 均为余自由，则 $\mathcal{D} \circ \mathcal{C}$ 也是余自由，利用张量代数上的去连接余乘法。
• 证明当 $\mathcal{D}$ 为分次霍普夫操作代数且 $\mathcal{C}$ 是具有到 $\mathcal{D}$ 的余代数映射的连通分次余代数时，$\mathcal{D} \circ \mathcal{C}$ 是单边霍普夫代数，利用Takeuchi关于连通分次双代数的定理。
• 通过 $[n]$ 的子集与 $n+1$ 的组合之间的一一对应，构造了单形的霍普夫代数与复合 $\mathfrak{C}\mathit{Sym} \circ \mathfrak{C}\mathit{Sym}$ 之间的显式同构。
• 使用加权树表示和嫁接运算来建模复合代数中的余乘法与乘法，其中分裂对应于去连接。
• 验证同构 $\bm{\varphi}$ 保持余代数结构并反转代数乘法，因此是单边代数的反同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个余自由余代数的复合本身也是余自由的？
• RQ2 在何种条件下，两个分次余代数的复合 $\mathcal{D} \circ \mathcal{C}$ 会继承单边霍普夫代数结构？
• RQ3 该复合构造如何应用于多面体组合学，如多乘形和复合多面体的顶点？
• RQ4 由Forcey与Springfield（2010）定义的单形的单边霍普夫代数是否作为余代数是余自由的？
• RQ5 单形的霍普夫代数与余自由余代数复合之间的确切代数关系是什么？

主要发现

• 两个余自由余代数的复合 $\mathcal{D} \circ \mathcal{C}$ 是余自由的，推广了关于树与排列的霍普夫代数的已知结果。
• 若 $\mathcal{D}$ 为分次霍普夫操作代数，且 $\mathcal{C}$ 是具有到 $\mathcal{D}$ 的余代数映射的连通分次余代数，则 $\mathcal{D} \circ \mathcal{C}$ 是单边霍普夫代数。
• 复合 $\mathfrak{C}\mathit{Sym} \circ \mathfrak{C}\mathit{Sym}$（其基对应于组合树）作为余代数同构于单形的霍普夫代数。
• 从单形的霍普夫代数到 $\mathfrak{C}\mathit{Sym} \circ \mathfrak{C}\mathit{Sym}$ 的映射 $\bm{\varphi}$ 是余代数的同构，也是单边代数的反同构。
• Forcery与Springfield（2010）引入的单形的霍普夫代数作为余代数是余自由的，这通过与 $\mathfrak{C}\mathit{Sym} \circ \mathfrak{C}\mathit{Sym}$ 的同构得以证明。
• 在 $\mathfrak{C}\mathit{Sym} \circ \mathfrak{C}\mathit{Sym}$ 中，余乘法由组合的去连接给出，例如 $\Delta(F_{1,3}) = F_1 \otimes F_{1,3} + F_{1,1} \otimes F_3 + F_{1,2} \otimes F_2 + F_{1,3} \otimes F_1$。