[论文解读] Coherence and Elicitability

Johanna F. Ziegel|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2013

Risk and Portfolio Optimization参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文证明，在所有与分布无关的谱风险度量中，只有负期望值是可预测的（elicitable），这意味着对于预期短缺（expected shortfall）及其他谱风险度量，无法进行有意义的预测验证或估计方法比较。然而，本文识别出分位数期望（expectiles）是唯一可预测的与分布无关的 coherent 风险度量，为风险预测和模型评估提供了统计上可靠的替代方案。

ABSTRACT

The risk of a financial position is usually summarized by a risk measure. As this risk measure has to be estimated from historical data, it is important to be able to verify and compare competing estimation procedures. In statistical decision theory, risk measures for which such verification and comparison is possible, are called elicitable. It is known that quantile based risk measures such as value at risk are elicitable. In this paper we show that law-invariant spectral risk measures such as expected shortfall are not elicitable unless they reduce to minus the expected value. Hence, it is unclear how to perform forecast verification or comparison. However, the class of elicitable law-invariant coherent risk measures does not reduce to minus the expected value. We show that it consists of certain expectiles.

研究动机与目标

• 确定哪些与分布无关的 coherent 风险度量是可预测的，以实现客观的预测评估与模型比较。
• 解决验证和排序风险度量预测结果的统计难题，特别是针对无法预测的预期短缺（ES）度量。
• 识别出既满足 coherence 又具备可预测性的 coherent 风险度量类别，填补风险度量理论中的关键空白。
• 为谱风险度量（如 ES）提供一种基于决策理论的可靠替代方案，后者缺乏用于预测评估的合适评分函数。
• 倡导使用分位数期望作为金融风险管理中 ES 的可行且统计稳健的替代方案。

提出的方法

• 应用 Gneiting（2011）的可预测性框架，将谱风险度量视为概率分布上的泛函进行分析。
• 利用与分布无关的 coherent 风险度量的 Kusuoka 表示法，刻画其结构与可预测性。
• 运用凸分析及积分谱函数的性质，证明除负期望外，所有谱风险度量均不可预测。
• 通过其基于非对称最小二乘法的定义，证明分位数期望的可预测性，从而将其与分位数回归原理联系起来。
• 证明在 Kusuoka 表示中，分位数期望的最小生成集是唯一的，并对应于特定类别的谱函数。
• 通过在 0 和 1 处对谱函数行为的反证法与极限论证，证明非期望值谱风险度量不存在一致评分函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些与分布无关的 coherent 风险度量是可预测的，从而支持客观的预测验证与模型比较？
• RQ2 为何预期短缺（ES）不可预测？这对风险度量与回溯测试的统计后果是什么？
• RQ3 是否存在除负期望值外，既满足 coherence 又具备可预测性的 coherent 风险度量？
• RQ4 分位数期望在 coherent 风险度量中扮演何种角色？其统计特性与谱风险度量相比如何？
• RQ5 是否存在一种基于决策理论的可靠替代方案，可支持谱风险度量的一致预测评估？

主要发现

• 唯一可预测的与分布无关的谱风险度量是负期望值，这意味着所有其他谱风险度量——包括预期短缺——均不可预测。
• 分位数期望是唯一可预测的与分布无关的 coherent 风险度量，为预测评估与模型比较提供了统计上有效的基础。
• 分位数期望的可预测性可直接从其作为非对称最小二乘法最小化问题解的定义推导而来，类似于分位数回归的原理。
• 预期短缺的不可预测性意味着不存在可用于排序竞争性预测的一致评分函数，从而削弱了客观的模型比较能力。
• 该结果将 Gneiting（2011）关于 ES 不可预测性的结论推广至所有非退化的谱风险度量，确认了其根本性的统计限制。
• 概率性预测与合适的评分规则或可作为替代方案，但只有分位数期望在 coherent 框架下提供了对谱风险度量的直接、可预测的替代选择。