[论文解读] Cohomological rank functions on abelian varieties

Zhi Jiang, Giuseppe Pareschi|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文引入了阿贝尔簇上 $\mathbb{Q}$-扭复形的上同调阶函数，建立了傅里叶- Mukai- Poincaré 变换下的变换公式。关键贡献在于一个精确的对偶关系，使得几何不变量得以分析，进而应用于 GV-子概形以及正线丛全局截面乘法映射的满射性。

ABSTRACT

Generalizing the continuous rank function of Barja-Pardini-Stoppino, in this paper we consider cohomological rank functions of $\mathbb Q$-twisted (complexes of) coherent sheaves on abelian varieties. They satisfy a natural transformation formula with respect to the Fourier-Mukai-Poincaré transform, which has several consequences. In many concrete geometric contexts these functions provide useful invariants. We illustrate this with two different applications, the first one to GV-subschemes and the second one to multiplication maps of global sections of ample line bundles on abelian varieties.

研究动机与目标

• 将 Barja-Pardini-Stoppino 的连续阶函数推广至阿贝尔簇上 $\mathbb{Q}$-扭复形的上同调阶函数。
• 在傅里叶-Mukai-Poincaré 变换下建立变换公式，关联不同有理扭量处的上同调阶。
• 应用所得对偶性研究 GV-子概形及正线丛全局截面乘法映射的满射性。
• 证明上同调阶函数可连续延拓至 $\mathbb{R}$，且在有理点处具有受控正则性，分段多项式结构。
• 推导线丛正常生成的临界值 $s(\underline{l})$ 的定量界，尤其在可除极化情形。

提出的方法

• 通过同源映射 $\mu_b$ 使用 $\mathcal{F} \otimes L^x$ 的一般上同调阶，定义 $x \in \mathbb{Q}$ 处的上同调阶函数 $h^{i}_{\mathcal{F},{\underline{l}}}(x)$。
• 建立变换公式（命题 2.3），将 $h^{i}_{\mathcal{F}}(x{\underline{l}})$ 与傅里叶-Mukai 变换 $\varphi_{\underline{l}}^*\Phi_{\mathcal{P}}(\mathcal{F})$ 的上同调阶关联，适用于 $x < 0$ 和 $x > 0$。
• 利用变换公式证明 $h^{i}_{\mathcal{F},{\underline{l}}}$ 在每个有理点 $x_0$ 附近为次数至多为 $g$ 的分段多项式函数，并通过 Hilbert 多项式导出显式多项式表达式。
• 证明 $h^{i}_{\mathcal{F},{\underline{l}}}$ 可连续延拓至 $\mathbb{R}_{\geq 0}$，并通过跳跃支集 $J^{i+}(\mathcal{F}\langle x_0\rangle)$ 分析其在有理点处的正则性。
• 应用对偶性研究乘法映射 $H^0(L^h) \otimes H^0(L^{hab}_\alpha) \to H^0(\mu_b^*L^h \otimes L^{hab}_\alpha)$，证明当 $h{\underline{l}}$ 无基点时，若 $\frac{a}{b} > \frac{1}{h-1}$，则映射满射。
• 定义 $\beta({\underline{l}})$ 为正常生成的临界值，并推导出 $h{\underline{l}}$ 的临界值公式 $s(h{\underline{l}}) = \frac{\beta({\underline{l}})}{h - \beta({\underline{l}})}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 上同调阶函数在傅里叶-Mukai-Poincaré 变换下的行为如何？其变换受何种对偶关系支配？
• RQ2 上同调阶函数在 $\mathbb{Q}$ 上有理点附近的正则性与分段多项式结构为何？
• RQ3 变换公式如何用于判断阿贝尔簇上正线丛全局截面乘法映射的满射性？
• RQ4 线丛正常生成的临界阈值 $s({\underline{l}})$ 的精确值为何？
• RQ5 在何种条件下，乘法映射 $H^0(L^h) \otimes H^0(L^{hab}_\alpha) \to H^0(\mu_b^*L^h \otimes L^{hab}_\alpha)$ 对一般或所有 $\alpha$ 保持满射？

主要发现

• 上同调阶函数 $h^{i}_{\mathcal{F},{\underline{l}}}$ 连续延拓至 $\mathbb{R} \to \mathbb{R}_{\geq 0}$，解决了 [BPaSt] 中提出的问题。
• 对每个 $x_0 \in \mathbb{Q}$，$h^{i}_{\mathcal{F},{\underline{l}}}$ 为分段多项式函数，左、右多项式分别为 $P^{-}_{i,\mathcal{F},x_0}$ 与 $P^{+}_{i,\mathcal{F},x_0}$，次数至多为 $g$，且在 $x_0$ 处光滑当且仅当两多项式相等。
• 变换公式表明，当 $x < 0$ 时，$h^{i}_{\mathcal{F}}(x{\underline{l}})$ 与 $h^{i}_{\varphi_{\underline{l}}^*\Phi_{\mathcal{P}}(\mathcal{F})}(-\frac{1}{x}{\underline{l}})$ 成比例，比例系数为 $\frac{(-x)^g}{\chi({\underline{l}})}$，同理适用于 $x > 0$。
• 当 $h \geq 2$ 且 $h{\underline{l}}$ 无基点时，正常生成的临界值满足 $s(h{\underline{l}}) = \frac{\beta({\underline{l}})}{h - \beta({\underline{l}})}$，且 $s(h{\underline{l}}) = \frac{1}{h-1}$ 当且仅当 ${\underline{l}}$ 有基点。
• 若 $\frac{a}{b} > \frac{1}{h-1}$，则对所有 $\alpha \in \widehat{A}$，乘法映射 $H^0(L^h) \otimes H^0(L^{hab}_\alpha) \to H^0(\mu_b^*L^h \otimes L^{hab}_\alpha)$ 满射；若 $\frac{a}{b} \geq \frac{1}{h-1}$，则对一般 $\alpha$ 满射；当 ${\underline{l}}$ 无基点时，临界值 $\frac{a}{b} = \frac{1}{h-1}$ 处对所有 $\alpha$ 满射。
• 当 ${\underline{l}}$ 为主极化时，临界映射 $H^0(L^h) \otimes H^0(L^{h(h-1)}_\alpha) \to H^0(\mu_{h-1}^*L^h \otimes L^{h(h-1)}_\alpha)$ 的源与目标维数相同，均为 $(h^2(h-1))^g$。