[论文解读] Cohomological representations of parahoric subgroups

Charlotte Chan, Alexander B. Ivanov|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文将 Lusztig 的上同调构造表示法从超特殊子群推广至局部域上半单群的任意巴洛里克子群。通过与一个环面及幂零部分相关的 Deligne–Lusztig 型流形的上同调定义虚拟表示，证明在一般性条件下表示的不可约性，并利用 Deligne–Lusztig 轨迹公式计算无ramified 极正则元素的特征标公式。

ABSTRACT

We generalize a cohomological construction of representations due to Lusztig from the hyperspecial case to arbitrary parahoric subgroups of a reductive group over a local field, which splits over an unramified extension. We compute the character of these representations on certain very regular elements.

研究动机与目标

• 将 Lusztig 的上同调构造表示法从局部域上半单群的超特殊子群推广至任意巴洛里克子群。
• 定义并研究一个在剩余域上构造的流形塔，其上同调实现巴洛里克子群 $P(\mathcal{O}_k)$ 的表示。
• 计算这些表示在无ramified 极正则元素上的特征标，推广经典的 Deligne–Lusztig 特征标公式。
• 建立构造表示不可约且与辅助选择（如 Borel 子群）无关的条件。

提出的方法

• 构造一个概形 $S_{T,U} \subset \mathbb{G}$，即 Lang 映射 $g \mapsto g^{-1}\sigma(g)$ 下 $\mathbb{U}$ 的原像，其中 $\mathbb{G}$ 是巴洛里克子群 $P$ 的特殊纤维的半单商群。
• 将虚拟 $P(\mathcal{O}_k)$-表示 $R_{T,U}^\theta$ 定义为 $S_{T,U}$ 的上同调群的交错和中 $\theta$-特征子空间，系数为 $\overline{\mathbb{Q}}_\ell$。
• 利用 Deligne–Lusztig 不动点公式计算无ramified 极正则元素在 $R_{T,U}^\theta$ 上的迹，将问题约化为群作用的不动点集。
• 将群元素分解为 $p$-幂部分与互素于 $p$ 的部分，以分离迹公式中的贡献，利用 $\breve{T}_r^\sigma$ 的结构。
• 证明不动点集 $S_{T,U}^{(s,\zeta)}$ 非空当且仅当存在 $\sigma$-不变的 $w$ 属于 $T$ 在 $Z^0(g)$ 中的 Weyl 群，使得 $\zeta = \mathrm{Ad}(w^{-1})(s^{-1})$。
• 在 $\theta$ 的 Weyl 群中稳定子为平凡时，利用 Lusztig 原始方法的推广，证明 $\pm R_{T,U}^\theta$ 是 $P(\mathcal{O}_k)$ 的不可约表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，上同调构造的表示 $R_{T,U}^\theta$ 与 Borel 子群 $U$ 的选择无关？
• RQ2 在何种条件下表示 $R_{T,U}^\theta$ 是不可约的？$\theta$ 在 Weyl 群中的稳定子起什么作用？
• RQ3 能否显式计算 $R_{T,U}^\theta$ 在无ramified 极正则元素上的特征标？其与 Weyl 群作用的关系如何？
• RQ4 Deligne–Lusztig 型流形 $S_{T,U}$ 的上同调如何实现非半单巴洛里克子群的表示？
• RQ5 在 $g \in P(\mathcal{O}_k)$ 作用下，不动点集 $S_{T,U}^{(g,\mathbb{T})}$ 的几何与算术结构是什么？

主要发现

• 当 $\theta$ 足够一般时，表示 $R_{T,U}^\theta$ 与 Borel 子群 $U$ 的选择无关。
• 若 $P$ 的特殊纤维的 Weyl 群中 $\theta$ 的稳定子为平凡，则 $\pm R_{T,U}^\theta$ 是 $P(\mathcal{O}_k)$ 的不可约表示。
• 在无ramified 极正则元素 $g$ 上，$R_{T,U}^\theta$ 的特征标为 $\operatorname{Tr}(g, R_{T,U}^\theta) = \sum_{w \in W_{\mathbf{x}}(T,Z^\circ(g))^{\sigma}} (\theta \circ \mathrm{Ad}(w^{-1}))(g)$。
• 不动点集 $S_{T,U}^{(s,\zeta)}$ 非空当且仅当存在唯一的 $\sigma$-不变 $w$ 属于 $T$ 在 $Z^0(g)$ 中的 Weyl 群，使得 $\zeta = \mathrm{Ad}(w^{-1})(s^{-1})$。
• 迹计算依赖于将 $g$ 和 $\tau$ 分解为 $p$-幂部分与互素于 $p$ 的部分，从而可通过在 $\breve{T}_r^\sigma$ 上平均，利用 Deligne–Lusztig 迹公式。
• 当 $(t_1, \tau_1)$ 作用于不动点集时，仅当 $\tau_1 = \mathrm{Ad}(w^{-1})(t_1^{-1})$ 时贡献非平凡，此时迹为 $\# \breve{T}_r^\sigma$。